傅里葉演算法

㈠ 傅里葉變換

1. 傅里葉變換的基本原理

遙感圖像像元 DN 值隨空間位置變化的特性可用頻率來進行描述。DN 值的空間變化頻率特徵可看作為由具有不同頻率、振幅和相位的許多正弦波或餘弦波疊合而成的復雜波形。一般而言，短距離內的亮度變化 ( 線條或邊緣) 相當於高頻波，而長距離或大范圍內的變化 ( 背景) 則相當於低頻波。

圖像的傅里葉 ( Fourier) 變換是空間頻率的函數，構成一個描述組成該圖像的所有正弦波的頻率、振幅與相位關系的頻譜 ( 傅里葉譜) 。圖像的傅氏變換包含著原圖像中的所有信息，不同的是量度的方式。通過傅氏變換，可對原圖像數據從頻率的角度進行頻譜特徵調整，並可通過傅氏反變換得到最終圖像而實現預期目的。

2. 傅里葉變換的基本性質

傅里葉變換具有線性性質、比例變換性、位移性、周期性、共軛對稱性，並服從卷積定理，同時，二維傅里葉變換具有可分離性，即二維傅里葉變換可先後分別沿 x 和 y ( μ和 ν) 兩個方向進行運算。

傅氏變換後的傅氏頻譜 ( 振幅) 圖像是以 | F ( 0，0) | ( 零頻相，常稱 DC 項) 為中心呈輻射對稱的，傅氏頻譜圖像中任意一點到原點的距離代表該點空間頻率的高低，而該點與原點連線的方位角反映了原圖像中線性特徵信息的方向。

㈡ 1的傅里葉變換是多少

1的傅里葉變換是2πδ（t）。

傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合，在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換，最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

定義：

f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T為周期的周期函數。

且在這些間斷點上，函數是有限值，在一個周期內具有有限個極值點絕對可積，稱為積分運算f(t)的傅立葉變換。

㈢ 傅里葉變換常用公式是什麼

公式如下圖：

傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。

㈣ 傅里葉變換有什麼用

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：

1、傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

4、離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

5、著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

(4)傅里葉演算法擴展閱讀

傅里葉生於法國中部歐塞爾（Auxerre）一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，被當地一主教收養。1780年起就讀於地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破崙軍隊遠征埃及，受到拿破崙器重，回國後於1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。

傅里葉早在1807年就寫成關於熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱後被科學院拒絕，1811年又提交了經修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發表。

傅里葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。

傅里葉由於對傳熱理論的貢獻於1817年當選為巴黎科學院院士。

1822年，傅里葉終於出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數後來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應用三角級數求解熱傳導方程，為了處理無窮區域的熱傳導問題又導出了當前所稱的「傅里葉積分」，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討；三角級數收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅里葉1822年成為科學院終身秘書。

由於傅里葉極度痴迷熱學，他認為熱能包治百病，於是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒於法國巴黎。

參考資料來源：網路-傅立葉變換

參考資料來源：網路-傅立葉

㈤ 傅里葉級數和傅里葉變換是什麼關系

傅里葉級數和傅里葉變換的關系。

傅里葉級數對周期性現象做數學上的分析。

傅里葉變換可以看作傅里葉級數的極限形式，也可以看作是對周期現象進行數學上的分析。

除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的演算法。要想理解傅里葉變換演算法的內涵，首先要了解傅里葉原理的內涵。

傅里葉原理表明：對於任何連續測量的數字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。

傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。

傅里葉級數針對的是周期性函數，傅里葉變換針對的是非周期性函數，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加。

㈥ 如何理解傅里葉變換公式

傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數或者它們的積分的線性組合，絕大多數大學生都要學習高數，說明在微積分中要被傅里葉統治，不僅僅是因為傅里葉變換很重要，更重要的原因是太難，大家不想掛科不得不學，但是又學不懂，所以可以用很流行的一句話來總結，數學虐我千百遍，我卻待它如初戀，那麼有哪些方法能加深大家對傅里葉變換的理解呢？
總結:在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。傅立葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。

㈦ 求快速傅里葉演算法的C語言實現代碼

這是源於 Numerical Recipes 的關鍵性的函數，我曾使用過（書本可能有印刷錯誤，這里給的沒有錯誤）。我不可能給你在這里講解語句功能，你可以查原書。
isign 1 或 0 是正變換和反變換。調用前，要自己去掉 mean，尾部要自己 padding ( 最簡單添0），時間域 和 頻率 域 要自己 濾波。 nn 必須是2的整數次方，例如1024，4096。

#define SWAP(a,b) tempr=(a);(a)=(b);(b)=tempr
void jfour1(float ya[], unsigned long nn, int isign)
{
unsigned long n,mmax,m,j,istep,i;
double wtemp,wr,wpr,wpi,wi,theta;
float tempr,tempi;
n=nn << 1;
j=1;
for (i=1;i<n;i+=2) {
if (j > i) {
SWAP(ya[j],ya[i]);
SWAP(ya[j+1],ya[i+1]);
}
m=n >> 1;
while (m >= 2 && j > m) {
j -= m;
m >>= 1;
};
j += m;
};
mmax=2;
while (n > mmax) {
istep=mmax << 1;
theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);
wr=1.0;
wi=0.0;
for (m=1;m<mmax;m+=2) {
for (i=m;i<=n;i+=istep) {
j=i+mmax;
tempr = wr * ya[j]- wi * ya[j+1];
tempi = wr * ya[j+1] + wi * ya[j];
ya[j] = ya[i] - tempr;
ya[j+1] = ya[i+1] - tempi;
ya[i] += tempr;
ya[i+1] += tempi;
};
wr = (wtemp=wr) * wpr - wi * wpi + wr;
wi = wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
};
mmax=istep;
};
}
#undef SWAP
void jrealft(float ya[], unsigned long n, int isign)
{
void jfour1(float ya[], unsigned long nn, int isign);
unsigned long i,i1,i2,i3,i4,np3,n05;
float c1=0.5,c2,h1r,h1i,h2r,h2i;
double wr,wi,wpr,wpi,wtemp,theta;
n05 = n >> 1;
theta=3.141592653589793/(double) (n05);
if (isign == 1) {
c2 = -0.5;
jfour1(ya,n05,1);
} else {
c2=0.5;
theta = -theta;
};
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);
wr=1.0+wpr;
wi=wpi;
np3=n+3;
for (i=2;i<=(n>>2);i++) {
i4=1+(i3=np3-(i2=1+(i1=i+i-1)));
h1r = c1 * (ya[i1] + ya[i3]);
h1i = c1 * (ya[i2] - ya[i4]);
h2r = -c2* (ya[i2] + ya[i4]);
h2i = c2 * (ya[i1] - ya[i3]);
ya[i1] = h1r + wr * h2r - wi * h2i;
ya[i2] = h1i + wr * h2i + wi * h2r;
ya[i3] = h1r - wr * h2r + wi * h2i;
ya[i4] = -h1i + wr * h2i + wi * h2r;
wr= (wtemp=wr) * wpr - wi * wpi + wr;
wi=wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
};
if (isign == 1) {
ya[1] = (h1r=ya[1]) + ya[2];
ya[2] = h1r-ya[2];
} else {
ya[1] = c1 * ((h1r=ya[1]) + ya[2]);
ya[2]=c1 * (h1r - ya[2]);
jfour1(ya,n05,-1);
}
}

㈧ 三角波的傅里葉變換公式是什麼

三角波的傅里葉變換公式是：f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間。

傅立葉變換表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。

在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

整體結構：

其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都為復數。與之相對的快速傅里葉變換有很多種，如DIT（時域抽取法）、DIF（頻域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。對於2n傅里葉變換，Cooley－Tukey演算法可導出DIT和DIF演算法。

本文運用的基本思想Cooley－Tukey演算法，即將高點數的傅里葉變換通過多重低點數傅里葉變換來實現。雖然DIT與DIF有差別。

故在運算量和演算法復雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優劣之分，所以可以根據需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。

㈨ 如何理解傅里葉變換公式

1、傅里葉變換公式

(9)傅里葉演算法擴展閱讀：

根據原信號的不同類型，可以把傅里葉變換分為四種類別：

1、非周期性連續信號傅里葉變換（Fourier Transform）

2、周期性連續信號傅里葉級數(Fourier Series)

3、非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)