逼近式演算法

⑴ 智能大電流發生器

武漢創億電氣設備有限公司 CYSL 智能大電流發生器是電力、電氣行業在調試中需要大電流場所的必需設備，應用於發電廠、變配電站、電器製造廠及科研院所等部門，屬於短時或斷續工作制，具有體積小、重量輕、使用維修方便等特點。

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技術指標
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● 電流精度 ≤1.0% (F.S)

⑵ 大電流發生器有哪些型號規格

大電流發生器型號規格

回答者：三新電力

⑶ 我國數學家劉徽採用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的演算法計算派這種演算法是什麼演算法

前人的成就功不可沒，後人的誤導會給人帶來困擾。由於無窮大和無窮小都是無限的，所以無限的裡面根本沒有無窮大當中最大的極限或無窮小當中最小的極限。也就是說：無限無窮無極限。
因為派是根據正六邊形倍邊成正6x2ⁿ邊形推出的應該它叫正6x2ⁿ邊率，正6x2ⁿ邊率是由倍邊公式的演算法得到的。所以採用正多邊形面積逼近圓面積(其實是逼近正6x2ⁿ邊形面積)的演算法，結果依然是正6x2ⁿ邊率，並非圓周率。派採用什麼演算法並不重要。重要的是，不用派也可以計算：圓面積、圓周長等與派有關的公式。

⑷ 橢圓周長的近似公式怎麼推來的

請看下面文段的第五大點:
學術研究
關孝和著作很多，近20部，但生前只出版過一部《發微演算法》(1674)，死後又由其弟子對他的遺稿作了整理，出版了《括要演算法》，其餘均為未出版的稿本．從這些著作的寫作時間來看，孝和的數學研究工作可分為兩個階段，他的數學著作基本上是在1685年以前完成的，以後因體弱多病而較少進行新的數學研究，只寫了一些天文歷法方面的注釋書．下面介紹他的主要貢獻．

1．引入「傍書法」和代數記號而創立了「演段術」

這是關孝和的最大貢獻．主要集錄於他的著作《發微演算法》(1674)及《三部抄》中的《解見題之法》和《解伏題之法》(1683)．在《發微演算法》中，孝和運用演段術對日本數學家澤口一之(有資料說澤口一之是孝和的弟子)的《古今演算法記》(1671)中的15道「遺題」作了分析和解答．但書中只有結果而把有關演段術的記述略去了，所以當時的日本人對他的解答一般都看不懂，於是就有人指責說《發微演算法》可能是關孝和胡編亂造的．1680年，日本數學家佐治一平竟寫成《演算法入門》指出《發微演算法》中解法的「錯誤」並給予「訂正」．作為對此類問題的答復，孝和的弟子建部賢弘寫成《發微演算法演段諺解》(1685)公諸於世，對孝和的演段術作了詳細解說，使之傳播開來．

孝和又在《三部抄》中闡述了「傍書法」和演段術．《三部抄》是《解見題之法》、《解隱題之法》(1685)和《解伏題之法》(1683)三部著作的總稱．見題是只用加減乘除即可解答的問題，隱題是只用一個方程就可以解答的問題，伏題是必須用兩個以上方程組成的方程組才能解答的問題，這也是三部著作各自名稱的來歷．《解見題之法》中首次出現傍書法表示的式子．所謂傍書法即在一條短豎線旁邊寫上文字作為記號來表示數量關系的一種方法．如「甲加乙」、「甲減乙」、「甲

乘乙」分別寫成「|甲|乙」、「|甲乙」、「|甲乙」；甲2，甲3，甲4，…

將「甲÷乙」記為「乙|甲」．

孝和就用上述一套符號來處理文字方程，比如方程

甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0

表示為

|甲乙|丙|丁．

如果一個方程有兩個未知數，如

3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，

就用「甲」代替y，整個方程表示為

由於「傍書法」可以表示含有兩個或者多個未知數的方程，因而「消元」就有了可能，這使得孝和能夠用消元法解方程組，從而得出了他的行列式理論．這些內容集中在《解伏題之法》中．書中介紹了一系列以傍書法為基礎的演算法，他稱之為「天元演段術」，後來又擴展為「歸源整法」．這一系列的演算法傳到孝和的第二代弟子松永良弼時，良弼又受其主君內藤政樹(1703—1766，「關流」和算家)之命將「歸源整法」更名為「點竄術」．點竄術就是用上述的傍書法系統地研究公式變形、解方程(組)、行列式等問題，內容相當於現在的初等代數學．但由於這種代數學不同於西方代數中用a，b，c，…作為記號而採用漢字加短豎線作為記號，因而不僅是日本的而且是整個漢字文化圈內的文化財富，是具有東方風格的符號代數．

2．提出代數方程變換理論和行列式理論

這一研究集中在《解伏題之法》中．書中介紹的方程變換的方法有：略、省、約、縮、疊、括等．把一個方程乘以某一式後從另一方程中減去，稱之為「略」；一個方程各項有公因式的就將此公因式約去，稱之為「省」；各項有共同的數字系數(他稱之為「段數」)時就約去這個公因數，他稱之為「約」；兩個方程中都不含未知數x的奇次冪時，就用換元法把x2作為一個未知數從而簡化方程，稱之為「縮」；「疊」是兩個方程分別乘以適當的式子再相減以消去某些項；「括」是把相同次冪的系數合起來，即合並同類項．孝和的演段術在這些方法中得到了明確表示．

他用這些方法解方程組的基本思想是，將兩個二元方程經過上述變換消去一個未知數，得到一個一元方程，再解這個一元方程．對於二元高次方程組(設兩個方程關於x的次數分別是m和n，m≥n，這時方程中每一項中x的冪的系數都是另一未知數y的多項式)，為達到一次消元的目的，他先用疊、括方法從原來的兩個方程中導出n個關於x的n－1次方程，這些方程都寫成標准形式，即方程右邊為0，左邊按x的升冪排列，他稱這n個方程為「換式」．於是求解原方程組的問題就轉化為求解由換式構成的方程組了．將這個方程組的各項中x的冪去掉，得到各項系數(y的多項式或單項式)按原來的位置次序構成的行列式，令這個行列式等於0，得到的這個行列式表示出的關於y的方程即是原方程組消去x後得到的一元方程．這樣，解原方程組的問題就轉化為解這個一元方程的問題．

為了對這個含有行列式的方程化簡、求解，他接著對行列式進行變換．他的行列式理論就是由此引出的．他在書中介紹了兩種計算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．

逐式交乘法的基本思想是，對行列式的各行分別乘以適當的式子，再將各列元素相加，直到除第一列(即x0的系數對應的那一列)外，其餘各列元素的和均為零，這時第一列元素的和即為行列式的值．

當行列式階數較高時，要看出上述各行要乘的因式顯然不容易，於是，他在書中又介紹了另一種計算行列式的方法即交式斜乘法．不過他沒有說明這種方法的根據，只是對2—5階行列式的展開給出了規則並用圖加以說明．從這些說明看出，他的交式斜乘法大致相當於今天中學里介紹的對角線法或其擴展．

西方對於行列式的研究首次出現在G．W．萊布尼茨(Leibniz)1693年寫給G．F．A．洛比達(L』Hospital)的信中，而孝和的《解伏法之法》是1683年完成的，所以孝和的研究比西方的此類研究至少要早10年．西方最早發表的關於行列式研究的著作是G．克萊姆(Cramer)的《代數曲線的分析引論》(Intro－ction àl』analyse des lignes courbes algébriques，1750)，這比《解伏題之法》要晚70年．在行列式方面，關孝和的研究是世界領先的．

3．研究了數字系數高次方程，發現了負根、虛根並提出了判別式概念和相當於多項式函數導函數的多項式

關孝和的這些成就主要包含在《解隱題之法》、《開方算式》及著作集《七部書》中．《七部書》是《開方翻變之法》(1685)、《題術辨議之法》(1685)、《病題明致之法》(1685)、《方陣圓攢之法》(1683)、《算脫驗符之法》、《求積》、《毬闕變形草解》這七部著作的總稱．

《解隱題之法》、《開方翻變之法》和《開方算式》中記述了解數字系數高次方程的兩種近似方法，分別相當於「霍納法」和「牛頓迭代法」．孝和又將這些解法用在字母系數方程f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0上，從形式上求出了f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，即從形式上求出了多項式函數f(x)的導函數．另外，他考察了只有虛根的方程(他稱其為「無商式」)、只有負根的方程(他稱其為「負商式」)和方程正、負根的個數問題，給出了判別式的概念，研究了方程正、負根存在的條件．在《題術辨議之法》和《病題明致之法》中，他將導出方程是「無商式」和「負商式」的問題歸入「病題」之列，利用他對數字系數方程的研究介紹了變換「予量」而糾正「病題」的方法．

對於無商式f(x)＝0，他主要是變更方程的系數使其判別式取一定的數值，從而使得方程有正根或負根．這樣的變換中又得出了f(x)取極大值(或極小值)的條件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出極值點x0，再代入f(x)可以求出極大值(或極小值)．這是今天通用的求極值方法的雛形，孝和稱其為「適盡方級法」．這種求極值方法是關孝和獨立發現的．

4．將中國的「三差之法」推廣為一般的招差法，研究了數論問題並發明「零約術」

這些成果都集中在《括要演算法》中．孝和去世之後，其遺稿全部傳給了弟子荒木村英(1640—1718)．據說，村英與孝和本來同學於高原吉種門下，後來他又拜孝和為師，由於其在同門弟子中學德俱高，所以得到了孝和的全部遺稿．可是當時村英已年高體弱，就把整理孝和遺稿的工作交給自己的弟子大高由昌．大高由昌從遺稿中抽出數篇編輯成《括要演算法》，村英為此作序，並於1712年出版．孝和的有關單行本至今尚存，與此比較看出，大高由昌在編輯時並沒有作多大改動．只是孝和原稿中的「諸約之法」不包括「翦管術」，而《括要演算法》中將「翦管術」列於「諸約之法」中．

(1)招差法 這是由x＝x1，x2，…，xn和相應的y＝y1，y2，…，yn兩組數據確定函數y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系數的方法，相當於西方數學中的有限差分法．孝和的方法如下：

乘積．

若所有平積相等，就有a3＝a4＝…＝0，這時可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，這時的招差法稱為「一次相乘之法」．若所有的立積都相等，則a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再計算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi處的值，再對此施行「一次相乘之法」可得a2，a1的值．依此類推．

關孝和稱a1，a2，…，an這些系數為「差」，求這些差為「招差」．上述求差的方法就是他的招差法．

對於n＝2，3，4的情況，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系數的問題早在中國數學中已得到解決，孝和的貢獻主要在於將這種「三差之法」推廣到了n為任意自然數的一般招差法．

(2)約術及垛術 他敘述的「約術」有互約、逐約、齊約、遍約、增約、損約、零約、遍通等．其中「逐約術」是給出n個整數a1，a2，…，an，確定各自的一個約數a′1，a′2，…，a′n，使這n個約數兩兩互素且其和等於a1，a2，…，an的最小公倍數．n＝2時，他把「逐約術」又稱為「互約術」．「齊約」是求整數的最小公倍數．「遍約」是用整數的最大公約數分別去除這n個整數．「遍通」是分數通分．「增約」是求級數a＋ar＋ar2＋…的和，「損約」是求級數a－ar－ar2－…的和．「剩一術」是解一次不定方程ax－by＝1的方法．除「增約」和「損約」之外，這些都是數論的內容．

「零約術」是孝和的發明．它是一種確定無限不循環小數的近似分數的方法．在書中他用例子對零約術作了說明．比如邊長為1尺的正方

取p1＝1，q1＝1，按下述規則確定後面的pn，qn．若
n，而相應的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41， 43， 44，45， 47，48，50，51，52，54，55，57，58．於是有

它們都出現在上述的近似分數列中．

在《括要演算法》最後一卷(貞卷)中，他用自己發明的這種零約術

給出，但他是怎樣得到的呢？這一點卻沒有流傳下來．孝和的這一工作給出了一種推導方法．

《括要演算法》的第一卷(元卷)中還記述了「垛術」問題，即求

和Sp＝1p＋2p＋3p＋… ＋np(他稱其為「方垛積」)與求和

對於方垛積，他用招差法計算出了p＝1，2，3，…，11的情況，然後歸納得出了方垛積一般公式：

對於衰垛積，他也給出一般公式：

值得注意的是，方垛積公式中的B1，B2，…，Bn，…與伯努利數一樣．而西方第一部導入伯努利數並給出上述公式的書是數學家雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度術》(Ars conj－ectandi，1713)．可見關孝和與伯努利幾乎同時發現了伯努利數．

(3)翦管術 數論方面，他還研究了翦管術，即解同餘式組b1x≡a1(mod m1)， b2x≡a2(mod m2)，…，bnx≡an(mod mn)的方法．《括要演算法》第二卷(亨卷)的「翦管術解」部分舉出九個問題說明這種方法，前五個是b1＝b2＝…＝bn＝1的情況，根據m1，m2，…，mn是否兩兩互素而分為兩種情況給出了解法；後四個問題都是b1，b2，…，bn不全為1的情況，利用逐約術和剩一術給出了解法．

翦管術的名稱和問題形式在中國宋代楊輝的著作集《楊輝演算法》中就有記述，但楊輝解決的同餘式組只限於b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn兩兩互素的情況，而且由於所舉的例子涉及的數據都比較簡單，往往是只靠心算就可以解決，而不用剩一術．可以說，孝和是從《楊輝演算法》中得到了翦管術的名稱和問題形式，但他由於發明了剩一術，又引入了逐約、互約概念，因而對m1，m2，…，mn不全兩兩互素的情況和b1，b2，…，bn不全為1的同餘式組問題也完滿地解決了．因此可以說是關孝和發展完善了翦管術．

5．給出了一些曲線求長和立體求積的近似方法

這些研究主要集中在《解見題之法》、《求積》及《毬闕變形草解》中．其中創新性的成果在於他給出了橢圓周長、阿基米德螺線長的近似演算法，解決了圓環體、弧環體和十字環的近似求積問題．

(1)橢圓周長與阿基米德螺線長 《解隱題之法》中第一次出現橢圓周長的近似演算法．他將橢圓看成是從不同角度看圓時得到的圖形，得出橢圓周長L的近近似計算公式：

L2＝π2(長徑×短徑)＋4×(長徑－短徑)2．

此書中還解決了「畹背」問題，即求所謂「畹形」長度的問題．如圖1，將扇形OAB用半徑OC1，OC2，…，OCn-1 n等分，再將半徑OA用C′1，C′2，…，C′n-1 n等分，經過OA的各分點以O為圓心分別畫弧，得到過C′k點的弧與半徑OCk的交點Dk(0≤k≤n，記O點為D0，A點為Dn)，Dk點的軌跡即是「畹形」．可見，畹形就是阿基米德螺線．他給出畹形長(背)的計算公式：

至於他是如何得到這個公式的，書中沒有說明．

(2)圓環體、弧環體和十字環的體積 所謂圓環體是圓繞其所在平面上與圓沒有公共點的一條直線旋轉一周所得到的立體；弧環體則是由弓形繞其所在平面上與弓形沒有公共點的一條直線旋轉一周所得的立體．關孝和設想，把圓環體截斷伸直，圓環體就變成圓柱，因此圓環體的體積就等於這個截面(圓面)的面積乘以這個「圓柱」的高(即圓環體的「中心圓」周長)．他這樣計算是假定了「圓環體經截斷伸直成圓柱後體積不變」，以此假定為基礎，他用弓形的面積乘以弧環體的中心圓周長作為弧環體的體積．這里所說的中心圓是指在圓(或弓形)旋轉過程中，圓(或弓形)面上一個特定點所形成的圓，這個特定點就是圓(或弓形)的重心．可見，孝和已經有了「重心」這一概念．他這樣計算圓環體、弧環體的體積的方法相當於帕波斯－古爾丁(Pappus－Guldin) 定理所敘述的方法．

所謂「十字環」是指兩個圓柱體與一個圓環體互相截取組成的立體，如圖2所示，兩個圓柱的軸互相垂直且都通過圓環體的重心，圓柱被圓環體的表面所截，並且兩圓柱的底半徑與圓環體的截面半徑相等．這一問題最早出現在榎並和澄的《參兩錄》()中，孝和首次用近似方法求出了十字環的體積．

另外，《毬闕變形草解》也是主要研究求積問題的著作．不過此書所涉及的多是闕球(用平面去截球體所得)、闕圓柱(用平面去截圓柱所得)、弧錐(底是弓形的錐體)和弧台(兩底都是弓形的台體)等復雜的立體．他通過將這些立體變形而給出這些立體的近似求積方法．他把此書命名為《草解》，可見還有未盡之意，這說明上述一類立體的求積是當時最難的求積問題．

6．創立圓理、角術，解決了有關圓弧長、球體積及正多邊形的一些問題

「圓理」一詞在後來的和算家中常用來總稱求解曲線長、圖形(平面圖形或曲面圖形)的面積及立體的體積的方法．但孝和創立的圓理只限於圓、球的有關計算．他關於圓理的研究主要集中在《括要演算法》第4卷(貞卷)中，由「求圓周率術」、「求弧矢弦率術」和「求立圓積率術」(立圓即球)三部分組成．他求圓的正 215，216，217邊形的周長a，b，c，並對此施以增約術，用a，b，c的一種平均值

作為圓周長的近似值，由此求得圓周率的小數點後11位數字，接著又用

他的「求弧術」是由弦a，矢c，徑d來求弧長s的方法，他給出公式：

其中A0， A1， A2， A3， A4， A5是由 c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相應的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5來確定的．

如果上述插值公式中沒有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，則與牛頓插值公式完全一樣．這個公式與牛頓插值公式的原理相同．牛頓插值公式是I．牛頓(Newton)發現的，W．瓊斯(Jones)得到牛頓允許後著成《微分法》(Methos differentilis，1711)將其公布於世，而《括要演算法》是1709年寫成序、跋，1712年出版的，因此可以說關孝和與牛頓幾乎同時各自獨立地發現了這個公式．

對於球的體積，他提出了「求立圓積率術」，首先用平行平面把球截成50個薄片，將各薄片先看成以各自的接近球心一側的底面為底的圓柱，求這50個「圓柱」的體積之和；再將各薄片看成是以各自的另一底面為底的圓柱，求出這50個「圓柱」的體積之和，再求出這兩個體積和的平均值a作為這50個薄片的總體積．同樣將球截成100個、200個薄片，分別如上求出這100個、200個薄片的總體積b和c，用增約術求出

將其作為球體積．雖然這一過程中用增約術的條件並不充足，但他如此分割—轉換—求和的求積方法中，積分思想已開始萌芽．

「角術」是建立正多邊形的邊長與外接圓半徑、邊長與內切圓半徑之間關系式的方法．他對正3—20邊形分別給出了這種關系式，而以前的和算家只是求出了邊數不大於15的正多邊形的上述關系式．另外，孝和在推導過程中所用的幾何學上的定理，有一些是僅憑直覺得到的．

7．研究了幻方問題，又用同餘式解決了日本流傳的古老的「繼子立」即「立後嗣」的問題

《七部書》中的《方陣之法·圓攢之法》給出了幻方(他稱為「方陣」)和圓攢的一般構造方法，即按一定規律變化n－2階幻方的每一個數，將其相應地作為「內核」，再在外圈上按一定規則填上4n－4個數就可以得到n階幻方．這種方法與16世紀德國數學家M．施蒂費爾(Stiefel)首次在其著作《整數算術》(Arithme－tica Integra，1544)中嘗試證陰幻方的思想是一致的．

「繼子立」是在日本廣泛流傳的一個古老問題，它說的是，某貴族家有30個孩子，其中15人是前妻所生，15人為後妻所生．要從這30個孩子中選出一個來繼承家業，就讓這30個孩子排成一圈，從某一個小孩開始往下數，讓第10個孩子從圈中退出，再從下一個繼續數，數到20時就讓對應20的那個孩子從圈中出去．照此數下去，數到整十的數時就把對應該數的孩子從圈中拉出，直到最後剩下一個孩子，就由這個孩子來繼承家業．如果現在只剩下一個前妻之子和14個後妻之子了，那麼只要從這個前妻之子開始數，就可以使這個孩子成為「繼子」．

孝和在《算脫驗符之法》中將這個問題理論化並用同餘式進行了推導證明．

除上述著作之外，孝和在數學方面還寫下了《角法並演段圖》、《闕疑抄一百問答術》、《勿憚改答術》等書．在天文歷法方面他也有許多著作，如《授時歷經立成》四卷、《授時歷經立成立法》(1681)、《授時發明》、《四餘演算法》(1697)、《星曜演算法》、《數學雜著》(又名《天文數學雜著》)等．

先前數學對關孝和的影響

從上面的介紹可以看出，關孝和的數學研究有的起源於在他之前的和算著作中的「遺題」．他最初的數學著作《發微演算法》是對澤口一之的《古今演算法記》(1671)中遺題的解答．他還解答了礒村吉德的《演算法闕疑抄》(1659)的100道遺題和村瀨義益的《演算法勿憚記》(1673)的遺題，至今尚存有關的抄本．有些遺題成為關孝和研究的起點．例如《演算法闕疑抄》第45個問題(「圓台斜截口」)引出了他對橢圓的研究；第 41個問題(「俱利加羅卷」，即在圓錐形棒上緾繩，求繩長)引出了他對畹背問題的研究．他的一些重要的思想方法也是從這些著作中得到的．例如，澤口一之在《古今演算法記》中通過變換方程系數避開了有兩個正根的情況，關孝和由此受啟發變換「無商式」和「負商式」系數使其根達到要求，進而得到了求多項式函數的極大值、極小值的「適盡方級法」．他在《題術辨議之法》中，對「碎術」(即「自遠至近數次而求所問」的方法，他認為「其術不定也」，因而不是最恰當的方法)問題採用逐次逼近法解決，這可能是從《演算法勿憚改》中受到啟發的，因為《演算法勿憚改》在日本是首次使用逐次逼近法的著作．

但是，他的最主要的數學成就並不能在他之前的和算著作中找到線索，這就在他的研究與先前和算家的研究之間形成了一個「斷層」．一些人認為，彌補這個斷層的是中國數學和西方數學對他的影響．據日本武林史著作《武林隱見錄》(1738)中「關新助算術秩事」一條記載，孝和估計到南部某寺收藏的「唐本」(指古時由中國傳到日本的書籍)中可能有數學書，就去南都搜尋，並將其抄錄下來帶回江戶研究．從此類「秩事」中可知關孝和在研究中參考了中國數學著作．

從孝和的數學成果來看，對他的研究產生較大影響的中國數學著作是《楊輝演算法》(1378)和清朝的《天文大成管窺輯要》等．《楊輝演算法》是楊輝的《乘除通變本末》(上卷為《演算法通變本末》，中卷為《乘除通變算寶》，下卷為《法算取用本末》，與史仲榮合著)、《田畝比類乘除捷法》和《續古摘奇演算法》三部著作合刻的，在朝鮮重刻後傳入日本並保存下來．孝和從《楊輝演算法》中得到了「翦管術」的名稱和問題形式，並完善了「翦管術」．另外，《楊輝演算法》中已有類似於「霍納法」的解方程方法，大概是孝和從中受到啟發，才提出了分別相當於霍納法和牛頓逼近法的兩種解方程方法．

朝黃鼎的《天文大成管窺輯要》對孝和也有影響．孝和的《授時發明》(或稱《天文大成三條圖解》)就是對此書第三卷的解釋，由此看來孝和曾仔細研究過這部書．書中有對元朝郭守敬《授時歷》中「三差法」所作的解說，可能由此引出了孝和對「招差法」的研究．

關於西方數學的影響是進入明治時代之後才開始研究的．17世紀中葉荷蘭萊頓大學的F．范·斯霍騰(Schooten)教授有一個學生，名叫P．哈特辛烏斯(Hartsingius)，是日本人．這由荷蘭阿姆斯特丹大學的D．J．科爾泰韋赫(korteweg)教授給林鶴一博士的信中可知．這個日本人後來是否回到日本已無法證實．但據日本數學史家三上義夫考證，那個時期在日本有一名叫鳩野巴宗的醫學家，此人或許就是哈特辛烏斯．如果這個推測正確，則說明當時已經有人將西方數學帶回日本了，從而可以認為關孝和的數學研究直接受到西方數學的影響．

從以上的介紹可以看出，關孝和從以往數學家的研究中發現問題，又對這些問題從理論上加以解決或者將其推廣為一般性方法．除此之外他還有自己的首創性研究．這些成果奠定了和算的基礎，擺脫了日本數學家單純介紹中國數學的傳統束縛，成為後世和算家的典範．

關流數學教育及關流弟子

關孝和作為一個數學家的同時又是一位數學教育家．他一生中親自授過課的弟子就有幾百人，其中最傑出的是荒木村英及建部賢弘、建部賢明兩兄弟，村英的弟子中有松永良弼，賢弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最為著名．孝和與他的弟子們的研究構成了和算的一個最大流派——關流(關流各代數學家系譜如文後圖所示)．能培養出這許多傑出的弟子，與孝和創立的教育方式有很大關系．他根據學生的情況分成五個等級分別集中指導，每一級都規定有相應的具體數學內容和具體教材．初級的教以珠算，進而籌算，高級的從演段術到點竄術，隨著每一級學生學業的完成而分別授以相應的「免許證」，相當於現在的畢業證，有「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」、「別傳免許」和「印可免許」五個等級．後來這種方式不斷發展，成為關流嚴格的教育制度——五段免許制．只有得到五個等級的免許之後，才可以被稱為「關流第幾傳」，而且最後得到「印可」的只限於幾名高徒．後來隨著數學研究的發展，加入到各等級的學習內容不斷增加，五段免許制日益完善和嚴格．到了山路主住成為關流掌門人時，據說規定一代弟子中只傳一子和高徒二人．

關於所用的教材，除了關孝和的著作之外，其他關流數學家也寫過教科書，如山路主住的《關流算術》45卷作為關流入門者的最初教程；久留島義太的《廣益算梯》25卷也作為數學初學者的教材．

可見，關孝和創立的五段免許制體系，已有班級授課制的萌芽．

附：關流系譜

⑸ 函數0比0型計算方法有哪幾種

硬算。
好吧我開玩笑的，下面開始正題。
①常見的就是洛必達法則，但這是建立在可導的條件下。
②所以在其他情況下請考慮用等價無窮小替換，這會化解一大部分。
③如果真的遇到極其棘手的，建議直接上泰勒公式。
④如果前面方法都不行的話，那還有一個方法，如果你是學高數的那可能不太合適，就是數值逼近的方法。換句話說你逐次取距離極限點10^-n遠處的函數值作為極限值的數值逼近即可。至於誤差分析詳見數值分析任意版本的教材。

⑹ 近似演算法和啟發式演算法的區別與聯系

在計算機科學與運籌學，近似演算法是指用來發現近似方法來解決優化問題的演算法。近似演算法通常與NP-hard問題相關; 由於不可能有效的多項式時間精確算來解決NP-hard問題，所以一個求解多項式時間次優解。與啟發式演算法不同，通常只能找到合理的解決方案相當快速，需要可證明的解決方案質量和可證明的運行時間范圍。理想情況下，近似值最優可達到一個小的常數因子（例如在最優解的5%以內）。近似演算法越來越多地用於已知精確多項式時間演算法但由於輸入大小而過於昂貴的問題。
啟發式演算法（heuristic algorithm)是相對於最優化演算法提出的。一個問題的最優演算法求得該問題每個實例的最優解。啟發式演算法可以這樣定義：一個基於直觀或經驗構造的演算法，在可接受的花費（指計算時間和空間）下給出待解決組合優化問題每一個實例的一個可行解，該可行解與最優解的偏離程度一般不能被預計。現階段，啟發式演算法以仿自然體演算法為主，主要有蟻群演算法、模擬退火法、神經網路等。

⑺ 近似演算法的基本概念

所有已知的解決NP-難問題演算法都有指數型運行時間。但是，如果我們要找一個「好」解而非最優解，有時候多項式演算法是存在的。
給定一個最小化問題和一個近似演算法，我們按照如下方法評價演算法：首先給出最優解的一個下界，然後把演算法的運行結果與這個下界
進行比較。對於最大化問題，先給出一個上界然後把演算法的運行結果與這個上界比較。
近似演算法比較經典的問題包括：最小頂點覆蓋、旅行售貨員問題、集合覆蓋等。
迄今為止，所有的NP完全問題都還沒有多項式時間演算法。
對於這類問題，通常可採取以下幾種解題策略。
(1)只對問題的特殊實例求解
(2)用動態規劃法或分支限界法求解
(3)用概率演算法求解
(4)只求近似解
(5)用啟發式方法求解
若一個最優化問題的最優值為c*，求解該問題的一個近似演算法求得的近似最優解相應的目標函數值為c，
則將該近似演算法的性能比定義為max(c/c*, c*/c)。在通常情況下，該性能比是問題輸入規模n的一個函數
ρ(n)，即 max(c/c*, c*/c) <= ρ(n)。
該近似演算法的相對誤差定義為Abs[(c-c*)/c*]。若對問題的輸入規模n，有一函數ε(n)使得Abs[(c-c*)/c*] <= ε(n)，則稱ε(n)為該近似演算法的相對誤差界。近似演算法的性能比ρ(n)與相對誤差界ε(n)之間顯然有如下
關系：ε(n)≤ρ(n)-1。

⑻ 求過程數值逼近根號五！！！

根號五的平方是五，應該找整數的平方接近根號五，是在（2，3），然後再找2.5的平方大於5所以在（2，2.5）在（2，2.5）找2.25的值以次類推，找區間的中點值

⑼ 近似演算法的子集和問題的近似演算法

問題描述：設子集和問題的一個實例為〈S,t〉。其中，S={x1，x2，…，xn}是一個正整數的集合，t是一個正整數。子集和問題判定是否存在S的一個子集S1，使得∑x = t。(x屬於S1)
1 子集和問題的指數時間演算法
int exactSubsetSum (S,t)
{
int n=|S|；
L[0]={0}；
for (int i=1；i<=n；i++) {
L[i]=mergeLists(L[i-1],L[i-1]+S[i])；
刪去L[i]中超過t的元素；
}
return max(L[n])；
}
演算法以集合S={x1，x2，…，xn}和目標值t作為輸入。演算法中用到將2個有序表L1和L2合並成為一個新的有序表的演算法mergeLists(L1,L2)。
2 子集和問題的完全多項式時間近似格式
基於演算法exactSubsetSum，通過對表L[i]作適當的修整建立一個子集和問題的完全多項式時間近似格式。
在對表L[i]進行修整時，用到一個修整參數δ，0<δ<1。用參數δ修整一個表L是指從L中刪去盡可能多的元素，使得每一個從L中刪去的元素y，都有一個修整後的表L1中的元素z滿足(1-δ)y≤z≤y。可以將z看作是被刪去元素y在修整後的新表L1中的代表。
舉例：若δ=0.1，且L=〈10,11,12,15,20,21,22,23,24,29〉，則用δ對L進行修整後得到L1=〈10，12，15，20，23，29〉。其中被刪去的數11由10來代表，21和22由20來代表，24由23來代表。
對有序表L修整演算法
List trim(L,δ)
{ int m=|L|；
L1=〈L[1]〉；
int last=L[1]；
for (int i=2；i<=m；i++) {
if (last<(1-δ)*L[i]) {
將L[i]加入表L1的尾部；
last=L[i]；
}
return L1；
}
子集和問題近似格式
int approxSubsetSum(S,t,ε)
{ n=|S|；
L[0]=〈0〉；
for (int i=1；i<=n；i++) {
L[i]=Merge-Lists(L[i-1],
L[i-1]+S[i])；
L[i]=Trim(L[i],ε/n)；
刪去L[i]中超過t的元素；
}
return max(L[n])；
}

⑽ 逐步逼近式計算16進制加法

有位著名的數學家說過，「數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家都有著深遠的影響」。

對於數學史有著深厚研究的中國科學院數學與系統科學研究院研究員李文林認為，數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。因而，數學史是人類文明史最重要的組成部分。

近年來，李文林研究員執著地在中國數學史領域求索，曾發表過大量關於數學史的研究論文。他專門為大學學生撰寫的《數學史教程》，被廣泛地應用於大學數學史學科的教學。他是上一屆中國數學會數學史分會的秘書長。

不久前，李文林研究員還參與了一項重要的研究工作。中國首屆國家最高科學技術獎獲得者、著名數學家吳文俊先生設立了「數學與天文絲路基金」，用於資助年輕學者研究古代中國與世界進行數學交流的歷史，揭示部分東方數學成果如何從中國經「絲綢之路」傳往歐洲之謎。該研究旨在糾正世界科技界對中國數學認識上存在的偏頗，通過對中國古代數學遺產的進一步發掘，探明近代科學的源流，鼓舞中國人在數學研究上的自信心和發憤圖強的勇氣。李文林作為該學術委員會組長參與了很多工作。

日前，本報記者采訪了李文林研究員。李文林把中國數學史稱為波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章。在李文林的娓娓敘述中，中國數學對於世界的卓越貢獻，如盛開著的中國文明之花，一朵朵展現開來。

古代數學領跑世界
中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多傑出數學家，取得了很多輝煌成就。

中國數學的起源與早期發展，在古代著作《世本》中就已提到黃帝使「隸首作算數」，但這只是傳說。在殷商甲骨文記錄中，中國已經使用完整的十進制記數。至遲到春秋戰國時代，又開始出現嚴格的十進位制籌算記數。籌算作為中國古代的計算工具，是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。

關於幾何學，《史記》「夏本紀」記載說：夏禹治水，「左規矩，右准繩」。「規」是圓規，「矩」是直角尺，「准繩」則是確定鉛垂方向的器械。這些都說明了早期幾何學的應用。從戰國時代的著作《考工記》中也可以看到與手工業製作有關的實用幾何知識。

戰國(公元前475年～前221年)諸子百家與希臘雅典學派時代相當。「百家」就是多種不同的學派，其中的「墨家」與「名家」，其著作包含有理論數學的萌芽。如《墨經》(約公元前4世紀著作)中討論了某些形式邏輯的法則，並在此基礎上提出了一系列數學概念的抽象定義。

在現存的中國古代數學著作中，《周髀算經》是最早的一部。《周髀算經》成書年代據考應不晚於公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數學、天文知識，有的可以追溯到西周(公元前11世紀～前8世紀)。從數學上看，《周髀算經》主要的成就是分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關於勾股定理的論述最為突出。

《九章算術》是中國古典數學最重要的著作。這部著作的成書年代，根據考證，至遲在公元前1世紀，但其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。《周禮》記載西周貴族子弟必學的六門課程「六藝」中有一門是「九數」。劉徽《九章算術注》「序」中就稱《九章算術》是由「九數」發展而來，並經過西漢張蒼、耿壽昌等人刪補。

《九章算術》採用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數學成就是豐富和多方面的。算術方面，「方田」章給出了完整的分數加、減、乘、除以及約分和通分運演算法則，「粟米」、「衰分」、「均輸」諸章集中討論比例問題，「盈不足」術是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設來求繁難算術問題的解的方法。代數方面，《九章算術》的成就是具有世界意義的，「方程術」即線性聯立方程組的解法；「正負術」是《九章算術》在代數方面的另一項突出貢獻，即負數的引進；「開方術」即「少廣」章的「開方術」和「開立方術」，給出了開平方和開立方的演算法；在幾何方面，「方田」、「商功」和「勾股」三章處理幾何問題，其中「方田」章討論面積計算，「商功」章討論體積計算，「勾股」章則是關於勾股定理的應用。

《九章算術》的幾何部分主要是實用幾何。但稍後的魏晉南北朝，卻出現了證明《九章算術》中那些演算法的努力，從而引發了中國古典幾何中最閃亮的篇章。
從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動盪時期，但同時也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學之後，學術界思辯之風再起。在數學上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現，實質是要尋求這兩部著作中一些重要結論的數學證明。這方面的先鋒，最傑出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數學史上一個獨特而豐產的時期。

《隋書》「律歷志」中提到「魏陳留王景元四年劉徽注九章」，由此知道劉徽是公元3世紀魏晉時人，並於公元263年撰《九章算術注》。《九章算術注》包含了劉徽本人的許多創造，完全可以看成是獨立的著作，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位。
劉徽數學成就中最突出的是「割圓術」和體積理論。劉徽在《九章算術》方田章「圓田術」注中，提出割圓術作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來推算圓周率的數學家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力於面積與體積公式的推證，並取得了超越時代的成果。

劉徽的數學思想和方法，到南北朝時期被祖沖之和他的兒子推進和發展了。
祖沖之(公元429年—500年)活躍於南朝宋、齊兩代，曾做過南徐州(今鎮江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數很少能名列正史的數學家之一。《南齊史》「祖沖之傳」說他「探異今古」，「革新變舊」。

球體積的推導和圓周率的計算是祖沖之引以為榮的兩大數學成就。祖沖之關於圓周率的貢獻記載在《隋書》中。祖沖之算出了圓周率數值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖沖之和他兒子關於球體積的推導被稱之為「祖氏原理」。祖氏原理在西方文獻中稱「卡瓦列利原理」，1635年義大利數學家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨立提出，對微積分的建立有重要影響。

之後的大唐盛世是中國封建社會最繁榮的時代，可是在數學方面，整個唐代卻沒有產生出能夠與其前的魏晉南北朝和其後的宋元時期相媲美的數學大家。

中國古典數學的下一個高潮宋元數學，是創造演算法的英雄時代。
到了宋代，雕版印書的發達特別是活字印刷的發明，則給數學著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期(公元960年—1368年)，重新統一了的中國封建社會發生了一系列有利於數學發展的變化。這一時期涌現的優秀數學家中最卓越的代表，如通常稱「宋元四大家」的楊輝、秦九韶、李冶、朱世傑等，在世界數學史上佔有光輝的地位；而這一時期印刷出版、記載著中國古典數學最高成就的宋元算書，也是世界文化的重要遺產。

賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術細草》著作，原書丟失，但其主要內容被南宋數學家楊輝著《詳解九章演算法》(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開方法，是一個非常有效和高度機械化的演算法，可適用於開任意高次方。

秦九韶(約公元1202年—1261年)在他的代表著作《數書九章》中，將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為「正負開方術」。秦九韶還有「大衍總數術」，即一次同餘式的一般解法。這兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上佔有突出的地位。

秦九韶的大衍總數術，是《孫子算經》中「物不知數」題演算法的推廣。從「孫子問題」到「大衍總數術」關於一次同餘式求解的研究，形成了中國古典數學中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文歷法問題的推動。中國古典數學的發展與天文歷法有特殊的聯系，另一個突出的例子是內插法的發展。

古代天算家由於編制歷法而需要確定日月五星等天體的視運動，當他們觀察出天體運動的不均勻性時，內插法便應運產生。早在東漢時期，劉洪《乾象歷》就使用了一次內插公式來計算月行度數。公元600年劉焊在《皇極歷》中使用了二次內插公式來推算日月五星的經行度數。公元727年，僧一行又在他的《大衍歷》中將劉焊的公式推廣到自變數不等間距的情形。但由於天體運動的加速度也不均勻，二次內插仍不夠精密。隨著歷法的進步，對數學工具也提出了更高的要求。到了宋元時代，便出現了高次內插法。

最先獲得一般高次內插公式的數學家是朱世傑(公元1300年前後)。朱世傑的代表著作有《算學啟蒙》(1299年)和《四元玉鑒》(1303年)。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最突出的數學創造有「招差術」(即高次內插法)，「垛積術」(高階等差級數求和)以及「四元術」(多元高次聯立方程組與消元解法)等。

宋元數學發展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是「天元術」和「四元術」的發明。天元術和四元術都是用專門的記號來表示未知數，從而列方程、解方程的方法，它們是代數學的重要進步。

中國古代數學以計算為中心、具有程序性和機械性的演算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特徵的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。
現代數學迎頭趕上

自鴉片戰爭以後，西方列強的軍艦與大炮使中國朝野看到了科學與教育的重要，部分有識之士還逐步認識到數學對於富國強兵的意義，從而竭力主張改革國內數學教育，同時派遣留學生出國學習西方數學。辛亥革命以後，這兩條途徑得到了較好的結合，有力地推動了中國現代高等數學教育的建制。

20世紀初，在科學與民主的高漲聲中，中國數學家們踏上了學習並趕超西方先進數學的光榮而艱難的歷程。1912年，中國第一個大學數學系——北京大學數學系成立(當時叫「數學門」，1918年改「門」稱「系」)，這是中國現代高等數學教育的開端。

20世紀20年代，是中國現代數學發展道路上的關鍵時期。在這一時期，全國各地大學紛紛創辦數學系，數學人才培養開始著眼於國內。除了北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學，在這一時期成立數學系的還有東南大學(1921年)、北京師范大學(1922年)、武漢大學(1922年)、廈門大學(1923年)、四川大學(1924年)等等。
伴隨著中國現代數學教育的形成，現代數學研究也在中國悄然興起。中國現代數學的開拓者們，在發展現代數學教育的同時，努力拚搏，追趕世界數學前沿，至1920年末和1930年，已開始出現一批符合國際水平的研究工作。

1928年，陳建功在日本《帝國科學院院報》上發表論文《關於具有絕對收斂Fourier級數的函數類》，中心結果是證明了一條關於三角級數在區間上絕對收斂的充要條件。幾乎同時，G.哈代和J.李特爾伍德在德文雜志《數學時報》上也發表了同樣的結果，因而西方文獻中常稱此結果為「陳-哈代-李特爾伍德定理」。這標志中國數學家已能生產國際一流水平的研究成果。

差不多同時，蘇步青、江澤涵、熊慶來、曾炯之等也在各自領域里作出令國際同行矚目的成果。1928—1930年間，蘇步青在當時處於國際熱門的仿射微分幾何方面引進並決定了仿射鑄曲面和旋轉曲面。他在這個領域的另一個美妙發現後被命名為「蘇錐面」。江澤涵是將拓撲學引進中國的第一人，他本人在拓撲學領域中最有影響的工作是關於不動點理論的研究，這在他1930年的研究中已有端倪。江澤涵從1934年起出任北京大學數學系主任。熊慶來「大器晚成」，1931年，已經身居清華大學算學系主任的熊慶來，再度赴法國龐加萊研究所，兩年後取得法國國家博士學位。其博士論文《關於無窮級整函數與亞純函數》、引進後以他的名字命名的「熊氏無窮級」等，將博雷爾有窮級整函數論推廣為無窮級情形。

從20世紀初第一批學習現代數學的中國留學生跨出國門，到1930年中國數學家的名字在現代數學熱門領域的前沿屢屢出現，前後不過30餘年，這反映了中國現代數學的先驅者們高度的民族自強精神和卓越的科學創造能力。

這一點，在1930年至1940年中的時期里有更強烈的體現。這一時期的大部分時間，中國是處在抗日戰爭的烽火之中，時局動盪，生活艱苦。當時一些主要的大學都遷移到了敵後內地。在極端動盪、艱苦的戰時環境下，師生們卻表現出抵禦外侮、發展民族科學的高昂熱情。他們在空襲炸彈的威脅下，照常上課，並舉行各種討論班，同時堅持深入的科學研究。這一時期產生了一系列先進的數學成果，其中最有代表性的是華羅庚、陳省身、許寶的工作。

到40年代後期，又有一批優秀的青年數學家成長起來，走向國際數學的前沿並作出先進的成果，其中最有代表性的是吳文俊的工作。吳文俊1940年畢業於上海交通大學，1947年赴法國留學。吳文俊在留學期間就提出了後來以他的名字命名的「吳示性類」和「吳公式」，有力地推動了示性類理論與代數拓撲學的發展。

經過老一輩數學家們披荊斬棘的努力，中國現代數學從無到有地發展起來，從1930年開始，不僅有了達到一定水平的隊伍，而且有了全國性的學術性組織和發表成果的雜志，現代數學研究初具規模，並呈現上升之勢。

1949年中華人民共和國成立之後，中國現代數學的發展進入了一個新的階段。新中國的數學事業經歷了曲折的道路而獲得了巨大的進步。這種進步主要表現在：建立並完善了獨立自主的現代數學科研與教育體制；形成了一支研究門類齊全、並擁有一批學術帶頭人的實力雄厚的數學研究隊伍；取得了豐富的和先進的學術成果，其中達到國際先進水平的成果比例不斷提高。改革開放以來，中國數學更是進入了前所未有的良好的發展時期，特別是涌現了一批優秀的、活躍於國際數學前沿的青年數學家。

改革開放以來的20多年是我國數學事業空前發展的繁榮時期。中國數學的研究隊伍迅速擴大，研究論文和專著成十倍地增長，研究領域和方向發生了深刻的變化。我國數學家不僅在傳統的領域內繼續作出了成績，而且在許多重要的過去空缺的方向以及當今世界研究前沿都有重要的貢獻。在世界各地許多大學的數學系裡都有中國人任教，特別是在美國，中國數學家還在大多數名校佔有重要教職。在許多高水平的國際學術會議上都能見到作特邀報告的中國學者。在重要的數學期刊上，不僅中國人的論著屢見不鮮，而且在引文中，中國人的名字亦頻頻出現。在一些有影響的國際獎項中，中國人也開始嶄露頭角。

這一切表明，我國的數學研究水平比過去有了很大提高，與世界先進水平的差距明顯地縮小了，在許多重要分支上都涌現出了一批優秀的成果和學術帶頭人。中國人在國際數學界的地位空前提高了。

李文林研究員表示，中國數學的今天，是幾代數學家共同拼搏奮斗的結果。2002年國際數學家大會在北京召開，標志著中國國際地位的提高與數學水平的發展。他表示相信，在眾多中國科學家的共同努力下，中國數學趕超世界先進水平，並在21世紀成為世界數學大國的夢想一定能夠實現。

近代數學日漸勢微
《四元玉鑒》可以說是宋元數學的絕唱。元末以後，中國傳統數學驟轉衰落。整個明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產生出能與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學傑作，而且在清中葉乾嘉學派重新發掘研究以前，「天元術」、「四元術」這樣一些宋元數學的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達三百餘年的時期內，除了珠算的發展及與之相關的著作(如程大位《演算法統宗》，1592年)的出現，中國傳統數學研究不僅沒有新的創造，反而倒退了。

中國傳統數學自元末以後落後的原因是多方面的。皇朝更迭的漫長的封建社會，在晚期表現出日趨嚴重的停滯性與腐朽性，數學發展缺乏社會動力和思想刺激。元代以後，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數學社會地位低下，研究數學者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。

同時，中國傳統數學本身也存在著弱點。籌算系統使用的十進位值記數制是對世界文明的一大貢獻，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內發展起來的半符號代數「天元術」與「四元術」，就不能突破籌算的限制演進為徹底的符號代數。籌式方程運算不僅笨拙累贅，而且對有五個以上未知量的方程組無能為力。另一方面，演算法創造是數學進步的必要因素，但缺乏演繹論證的演算法傾向與缺乏演算法創造的演繹傾向同樣難以升華為現代數學。而無論是籌算數學還是演繹幾何，在中國的傳播都由於「天朝帝國」的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀，當近代數學在歐洲蓬勃興起以後，中國數學就更明顯地落後了。

從17世紀初到19世紀末大約三百年時間，是中國傳統數學滯緩發展和西方數學逐漸傳入的過渡時期，這期間出現了兩次西方數學傳播的高潮。

第一次是從17世紀初到18世紀初，標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。1606年，中國學者徐光啟(1562年—1633年)與義大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci)合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，並於翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數學名詞「幾何」由此而來。

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。除了初等數學，這一時期還傳入了包括解析幾何、微積分、無窮級數論、概率論等近代數學知識。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成起了一定的作用，但由於當時整個社會環境與科學基礎的限制，總的來說其功效並不顯著。清末數學教育的改革仍以初等數學為主，即使在所謂「大學堂」中，數學教學的內容也沒有超出初等微積分的范圍，並且多半被轉化為傳統的語言來講授。中國現代數學的真正開拓，是在辛亥革命以後，興辦高等數學教育是重要標志。