編程無窮素數
A. c語言 求100—200之間的全部素數，並且輸出每10個換一行
第一個問題的分析：如果滿足i<=k，則說明這個數不是素數，則不用輸出，不執行下面的printf的函數，只有滿足i>=k+1（其實是滿足1=k+1），才能判斷此數為素數，則輸出。所以程序是正確的。
第二個問題的分析：兩個程序的最終結果是一樣的，都是正確的。
程序自然結束後，會有i==k+1,此時是素數，列印數字；而如果是break出循環，則假設不成立，為合數，不列印字元，執行下一次循環。
(1)編程無窮素數擴展閱讀：
如果 為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
B. 怎麼證明有無窮個素數
反證法，
假設素數有有限多個，分別為a1，a2，……an
則構造一個數a（n+1）=（a1*a2*……*an）+1
這個數不是任何一個素數的倍數，所以為素數，矛盾
得證
C. 如何證明素數又無窮多個
假設素數只有有限個，記為p1，p2，……，pn。考慮這個數（p1p2……pn）+1=a，則a為合數，故必有素因子q。由於只有有限個素數，q必是上述n個素數中的一個。但是，a除以上述n個素數中的任何一個都餘1，這與n是q的倍數矛盾！
所以，素數有無窮多個
D. C語言求100以內素數的問題
#include<stdio.h>
int main()
{
int i=0;
int count=0;
for(i=0;i<=100;i++)
{
int j=0;
for(j=2;j<=i;j++)
{
if(i%j==0)
{
break;
}
}
if(i==j)
{
count++;
printf("%d ",i);
}
}
printf(" count=%d ",count);
return 0;
}
解題思路：
素數，就是除了1和他本身，不能被其他數整除的數字。答案就是用100到200之間的每個數字，除以2到其本身前面的那一個數字，如果此過程中出現整除的現象，則該數不是素數。如果沒有整除的現象，則該數為素數輸出。
(4)編程無窮素數擴展閱讀：
質數又稱素數。一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能整除其他自然數的數叫做質數；否則稱為合數。
質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。
E. 如何證明素數個數是無窮的（詳細過程）
（反證） 假設素數是有限的，假設素數只有有限的n個，最大的一個素數是p 設q為所有素數之積加上1，那麼，q = （ 2 * 3 * 5 * …… * p ）+ 1不是素數 那麼，q可以被2、3、……、p中的數整除 而q被這2、3、……、p中任意一個整除都會餘1，與之矛盾 所以，素數是無限的。 （也可以這樣說明：若q能被小於q的數整除，情況有兩種，被小於q的素數或被小於q的合數。小於q的素數也就包括在2，3，5，…… p 中，明顯不能被他們整除；如果能被小於q的合數m整除，合數m又可以分為兩個更小的素數相乘，設m=s*t，則s<m<q，t<m& lt;q，那麼q肯定能被s或t中的任何一個整除，而s和t都是小於q的素數，都不能整除q，所以就矛盾。）
滿意請採納
F. 怎樣證明素數有無窮多個
這是《數學天書中的證明》中的第一個問題。書中列舉了6種證法，這里只說一下大概思路：
（1）假設素數有限，所有素數之積加一不能被任何素數整除，於是我們得到一個新的素數，矛盾。
（2）因為任意兩個費馬數互素，而費馬數有無窮多個，因此有無窮多個素數。
（3）令p為最大的素數，考慮梅森數2^p - 1的素因子。任意一個該數的素因子都大於p，矛盾，所以不存在最大的素數。
（4）log(x)是素數計數函數的一個下界，因為log(x)無界，所以素數無限。
（5）構造整數集上的一個拓撲，使素數和該拓撲上的某些既開又閉的集合一一對應，從而導出一個開集{-1, 1}，然後證明{-1, 1}不可能是開集。
（6）證明
發散。
G. 判斷是否是素數編程
#include<stdio.h>
int fun(int x)
{
for(int i=2;i<x;i++)
if(x%i==0)
return 0;
return 1;//是素數返回值為 1;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
if(n<2)
{
while(1)//無限循環，不執行break一直循環;
{
printf("輸入錯誤;請重新輸入 ");
scanf("%d",&n);
if(n>=2)
{
printf("輸入正確;開始判斷 ");
if(fun(n))
{
printf("%d is a prime number.",n);
break;
}
else
{
printf("%d is not a prime number.",n);
break;
}
}
}
}
else//n>=2時的素數判斷;
{
if(fun(n))
printf("%d is a prime number.",n);
else
printf("%d is not a prime number.",n);
}
return 0;
}
H. c語言輸出100到200之間的素數
解題思路：
首先先找出來100~200以內的所有整數，再讓這些整數對除了1和它本身以外的數求余，如果有能整除的就不是素數，否則就為素數。
先找出來100到200的所有整數,都為i
用i去對除了1和它本身以外的數求余。
正確的代碼：
#include<stdio.h>
int main()
{
int conut = 0;
int i = 0;
for(i=100; i<=200; i++)
{
int j = 0;
for(j=2; j<i; j++)
{
if(i%j == 0)
break;
}
if(j==i)
{
conut++;
printf("%d ", i);
}
}
printf(" ");
printf("素數個數為：%d ", conut);
return 0;
}
第二個if語句的判斷條件應該是j==i；而不是i%j 。
(8)編程無窮素數擴展閱讀：
實現的其他方法：
需要用到sort函數，也就是開平方根函數。頭文件為#include<math.h>。 顯而易見，任何一個數，每一對因子都是由這個數開平方後的數的左右各一個組成，所以，在求余過程中，只需要對從2到開平方之後的數求余即可。遇到可以整除的就不是素數，否則就為素數。
代碼：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int count = 0;
int i = 0;
for(i=100; i<=200; i++)
{
int j = 0;
for(j=2; j<=sqrt(i); j++)
{
if(i%j == 0)
break;
}
if(j > sqrt(i))
{
count++;
printf("%d ",i);
}
}
printf(" ");
printf("素數個數為：%d", count);
return 0;
}
I. 關於"素數無窮多"的疑問
只能說明這種證明方法不完善，並且，素數的表示方法並非就這一種，還有其他表示方法，如：n！+1，我們可以這樣證明：
假設素數個數有限，則必有一個最大的
設最大的素數是P
令n=2*3*5*7*……*P+1
即把所有的素數相乘並加上1
顯然n>P
若因為P是最大素數，所以n是合數
則n能被2，3，……，P中至少一個素數整除
但用這些數去除n，都有餘數1，即都不能整除
這就有兩種可能
(1),n是素數
(2),n是合數，但他只能被大於P的素數整除
這兩種情況都和P是最大素數矛盾。
所以假設錯誤
所以素數是無限
也可以如下證明：
素數與公因數
1、素數 我們知道，大於1，並且除1和它本身外沒有其他因數的自然數叫素數(或質數)
2是最小的素數，除2以外，所有的偶數都不是素數。
按順序，下列為一個小素數序列:
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…
不是素數的整數a>1稱為合數。例如，因為有3|39，所以39是合數。整數1被稱為基數，它既不是質數也不是合數。類似地，整數0和所有負整數既不是素數也不是合數。
關於素數，有如下重要結論：
①素數有無窮個。
證明：假設素數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1,p2,...,pn，則 x = (p1·p2·...·pn)+1 顯然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一個素數整除的，因此x也是一個素數，這和只有n個素數矛盾，所以素數是無限多的。
這個證明的最早來自亞里士多德，非常漂亮，是反證法的經典應用，這個證明被歐拉稱為「直接來自上帝的證明」，歷代的數學家也對其評價很高。
但是，千萬不可認為，形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均為素數）的數就一定是素數！第八屆全國青少年信息學奧林匹克聯賽（NOIP2002)提高組初賽試題第三題第2小題，寫程序運行結果，程序要找的就是形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均為素數）的數中第一個是合數的整數。
2*3+1=7 是素數
2*3*5+1=31 是素數
2*3*5*7+1=211 是素數
2*3*5*7*11+1=2311 是素數
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素數，因為30031=59*509
引用內容
華東師范大學版的數學9年級教材P94有這樣一個命題：
從素數2開始，排在前面的任意多個素數的乘積加1一定也是素數。
這個結論就是錯誤的。
雖然最大的素數是不存在的，但是人們卻對探知最大的素數樂此不疲。
213466917-1
這是到目前為止人類所發現的最大素數,它是由Michael在2001年12月7日發現的,這是一個梅森素數,有4,053,946位數字。
所謂梅森素數,是以17世紀法國修道士M.梅森的名字命名的.梅森在1644年出版的著作《物理數學隨感》的序言中宣稱,對於n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257,數Mn=2n-1是素數,而對於其他所有小於257的數n,Mn是合數.但是,這里出現了5個錯誤,M67,M257不是素數,而M61,M89,M107是素數.顯然,要使Mn是素數,n本身必須是素數,但是反過來,n是素數,Mn卻不一定是素數,例如雖然11是素數,可是M11=2047=23X89是合數.
現在尋找很大的梅森素數時,已經完全依賴於計算機了,可以想像,離開了計算機,我們人類將會落入一種怎樣的地步.當D.H.萊默博士這位曾經在梅森素數上花費了許多時光的老學者,親眼看到了計算機在短短的48秒鍾內做完了他20年前花費了700多小時才完成的艱辛勞動,最後證明2257-1是一個合數時,他是多麼地感慨萬端哪.
時至今日,人類只找到39個梅森素數.前18個梅森素數是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217時的Mn=2n-1.下表列出了從1961年以來所發現的全部梅森素數.
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素數是無限的，歐幾里得在《幾何原本》裡面已經給出了證明，現在已經有很多種證明方法了。這里我收集一兩個。
證法一：
（一）學過初中的同學都知道n!與n!+1互質。故n!與1、2、3、…..n-1、n互質那麼n!+1有2種可能（1）n!+1為素數。(2)n!+1為合數
（1）設a=n!+1為素數 集合A={x|0<x≤n x∈N}有b個素數，則集合B={x|0<x≤n!+1 x∈N}內至少有b+個素數
（2）設a=n!+1為合數則在集合B\A中至少有2個元素可以被a整除
易證：c=min{x|x∈B\A 且a/x=h h∈N}為素數。同（1）設集合A內有b個素數。則集合B內至少有b+1個素數
綜合（1）、（2）可得：設集合A={x|0<x≤n x∈N}有b個素數，則集合B={x|0<x≤n!+1 x∈N}內至少有b+個素數。
重復（一）操作可得集合C={x|o<x≤（n!+1）!+1 x∈N}內至少有b+2個素數。
繼續沿用（一）的操作，用數學歸納法可證:設集合A={x|0<x≤n x∈N}有b個素數，則集合D={x|o<x≤{[(n!+1)!+1]!+1…..}內至少有b+d個素數
d重
由此：當d→+∞時，e=素數的個數≥b+d=+∞
證明完畢。
證法二：（反證）
假設素數是有限的，假設素數只有有限的n個，最大的一個素數是p
設q為所有素數之積加上1，那麼，q = （ 2 * 3 * 5 * …… * p ）+ 1不是素數
那麼，q可以被2、3、……、p中的數整除
而q被這2、3、……、p中任意一個整除都會餘1，與之矛盾
所以，素數是無限的。
（也可以這樣說明：若q能被小於q的數整除，情況有兩種，被小於q的素數或被小於q的合數。小於q的素數也就包括在2，3，5，…… p 中，明顯不能被他們整除；如果能被小於q的合數m整除，合數m又可以分為兩個更小的素數相乘，設m=s*t，則s<m<q，t<m<q，那麼q肯定能被s或t中的任何一個整除，而s和t都是小於q的素數，都不能整除q，所以就矛盾。）
J. c＃求素數
int j, n = 0;
Console.WriteLine("輸出1000以內的所有素數：");
for (int i = 2; i <= 1000; i++)
{
for (j = 2; j <= i -1; j++)
{
if (i % j == 0)
break;
}
if (j > i-1 )
{
n += 1;
Console.Write("{0}\t", i);
}
}
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("統計共有：{0}個數", n);
Console.Read();