呂老師學編程

❶ 圓周率是怎麼算出來的

1、馬青公式
π=16arctan1/5-4arctan1/239
這個公式由英國天文學教授約翰·馬青於1706年發現。他利用這個公式計算到了100位的圓周率。馬青公式每計算一項可以得到1.4位的十進制精度。因為它的計算過程中被乘數和被除數都不大於長整數，所以可以很容易地在計算機上編程實現。
還有很多類似於馬青公式的反正切公式。在所有這些公式中，馬青公式似乎是最快的了。雖然如此，如果要計算更多的位數，比如幾千萬位，馬青公式就力不從心了。下面介紹的演算法，在PC機上計算大約一天時間，就可以得到圓周率的過億位的精度。這些演算法用程序實現起來比較復雜。因為計算過程中涉及兩個大數的乘除運算，要用FFT（Fast Fourier Transform）演算法。FFT可以將兩個大數的乘除運算時間由O（n2）縮短為O（nlog（n））。
2、拉馬努金公式
1914年，印度數學家拉馬努金在他的論文里發表了一系列共14條圓周率的計算公式。這個公式每計算一項可以得到8位的十進制精度。1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位。
1989年，大衛·丘德諾夫斯基和格雷高里·丘德諾夫斯基兄弟將拉馬努金公式改良，這個公式被稱為丘德諾夫斯基公式，每計算一項可以得到15位的十進制精度。1994年丘德諾夫斯基兄弟利用這個公式計算到了4,044,000,000位。丘德諾夫斯基公式的另一個更方便於計算機編程的形式是：
3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）演算法
高斯-勒讓德公式：
這個公式每迭代一次將得到雙倍的十進制精度，比如要計算100萬位，迭代20次就夠了。1999年9月，日本的高橋大介和金田康正用這個演算法計算到了圓周率的206,158,430,000位，創出新的世界紀錄。
4、波爾文四次迭代式：
這個公式由喬納森·波爾文和彼得·波爾文於1985年發表，它四次收斂於圓周率。
5、ley-borwein-plouffe演算法
這個公式簡稱BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe於1995年共同發表。它打破了傳統的圓周率的演算法，可以計算圓周率的任意第n位，而不用計算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計算提供了可行性。1997年，白勞德找到了一個比BBP快40％的公式。