rsa加密演算法例子

A. RSA演算法舉例

首先看下rsa演算法：
找兩素數p和q
計算n=p*q和
t=(p-1)*(q-1)
取小於n的一個數e,並且e與t互質，就是最大公約數是1
找一個數d，d滿足（ed-1）
mod
t
＝0
公鑰取（n，e），私鑰取（n，d）
現在開始分析，
已知公鑰是（n＝35,e＝5）,那麼
n＝p*q，p與q只能是7和5
那麼t就是24
而（ed-1）%t＝0
也就是（5d-1）%24＝0,那麼可以取d為5
所以私鑰是
（d＝5,n＝35）
解密公式：m＝c^d
mod
n
=10^5
mod
35
=5
所以明文m是5

B. 什麼是RSA演算法，求簡單解釋。

RSA公鑰加密演算法是1977年由Ron Rivest、Adi Shamirh和LenAdleman在（美國麻省理工學院）開發的。RSA取名來自開發他們三者的名字。RSA是目前最有影響力的公鑰加密演算法，它能夠
抵抗到目前為止已知的所有密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰數據加密標准。RSA演算法基於一個十分簡單的數論事實：將兩個大素數相乘十分容易，但那時想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。RSA的速度比對應同樣安全級別的對稱密碼演算法要慢1000倍左右。
基礎
大數分解和素性檢測——將兩個大素數相乘在計算上很容易實現，但將該乘積分解為兩個大素數因子的計算量是相當巨大的，以至於在實際計算中是不能實現的。
1.RSA密碼體制的建立：
(1)選擇兩個不同的大素數p和q；
(2)計算乘積n=pq和Φ(n)=(p-1)(q-1)；
(3)選擇大於1小於Φ(n)的隨機整數e，使得gcd(e,Φ(n))=1；
(4)計算d使得de=1mod Φ(n)；
(5)對每一個密鑰k=(n,p,q,d,e)，定義加密變換為Ek(x)=xemodn，解密變換為Dk(x)=ydmodn，這里x,y∈Zn；
(6)以{e,n}為公開密鑰，{p,q,d}為私有密鑰。
2.RSA演算法實例:
下面用兩個小素數7和17來建立一個簡單的RSA演算法：
(1)選擇兩個素數p=7和q=17；
(2)計算n=pq=7 17=119，計算Φ(n)=(p-1)(q-1)=6 16=96；
(3)選擇一個隨機整數e=5，它小於Φ(n)＝96並且於96互素；
(4)求出d，使得de=1mod96且d<96，此處求出d=77，因為 77 5＝385＝4 96＋1；
(5)輸入明文M＝19，計算19模119的5次冪，Me＝195＝66mod119,傳出密文C＝66；(6)接收密文66，計算66模119的77次冪；Cd=6677≡19mod119得到明文19。

C. rsa演算法原理

RSA演算法是最常用的非對稱加密演算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。RSA的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進制數或更大）的函數。從一個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積。

我們可以通過一個簡單的例子來理解RSA的工作原理。為了便於計算。在以下實例中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設用戶A需要將明文「key」通過RSA加密後傳遞給用戶B，過程如下：設計公私密鑰(e,n)和(d,n)。

令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。通過試算我們找到，當d=7時，e×d≡1 mod f(n)同餘等式成立。因此，可令d=7。從而我們可以設計出一對公私密鑰，加密密鑰（公鑰）為：KU =(e,n)=(3,33)，解密密鑰（私鑰）為：KR =(d,n)=(7,33)。

英文數字化。將明文信息數字化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文字母編碼表為按字母順序排列數值。則得到分組後的key的明文信息為：11，05，25。

明文加密。用戶加密密鑰(3,33) 將數字化明文分組信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
C1(密文)≡M1（明文）^e (mod n) == 11≡11^3 mod 33 ;
C2(密文)≡M2（明文）^e (mod n) == 26≡05^3 mod 33;
C3(密文)≡M3（明文）^e (mod n) == 16≡25^3 mod 33;
所以密文為11.26.16。

密文解密。用戶B收到密文，若將其解密，只需要計算，即：
M1(明文)≡C1（密文）^d (mod n) == 11≡11^7 mod 33;
M2(明文)≡C2（密文）^d (mod n) == 05≡26^7 mod 33;
M3(明文)≡C3（密文）^d (mod n) == 25≡16^7 mod 33;
轉成明文11.05.25。根據上面的編碼表將其轉換為英文，我們又得到了恢復後的原文「key」。

當然，實際運用要比這復雜得多，由於RSA演算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，因此，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有一定的計算程序，需要仰仗計算機高速完成。

D. 加密基礎知識二 非對稱加密RSA演算法和對稱加密

上述過程中，出現了公鑰(3233,17)和私鑰(3233,2753)，這兩組數字是怎麼找出來的呢？參考 RSA演算法原理（二）
首字母縮寫說明：E是加密（Encryption）D是解密（Decryption）N是數字（Number）。

1.隨機選擇兩個不相等的質數p和q。
alice選擇了61和53。（實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。）

2.計算p和q的乘積n。
n = 61×53 = 3233
n的長度就是密鑰長度。3233寫成二進制是110010100001，一共有12位，所以這個密鑰就是12位。實際應用中，RSA密鑰一般是1024位，重要場合則為2048位。

3.計算n的歐拉函數φ(n)。稱作L
根據公式φ(n) = (p-1)(q-1)
alice算出φ(3233)等於60×52，即3120。

4.隨機選擇一個整數e，也就是公鑰當中用來加密的那個數字
條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
alice就在1到3120之間，隨機選擇了17。（實際應用中，常常選擇65537。）

5.計算e對於φ(n)的模反元素d。也就是密鑰當中用來解密的那個數字
所謂"模反元素"就是指有一個整數d，可以使得ed被φ(n)除的余數為1。ed ≡ 1 (mod φ(n))
alice找到了2753，即17*2753 mode 3120 = 1

6.將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
在alice的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。

上述故事中，blob為了偷偷地傳輸移動位數6，使用了公鑰做加密，即6^17 mode 3233 = 824。alice收到824之後，進行解密，即824^2753 mod 3233 = 6。也就是說，alice成功收到了blob使用的移動位數。

再來復習一下整個流程：
p=17,q=19
n = 17 19 = 323
L = 16 18 = 144
E = 5(E需要滿足以下兩個條件：1<E<144,E和144互質)
D = 29(D要滿足兩個條件，1<D<144,D mode 144 = 1)
假設某個需要傳遞123，則加密後：123^5 mode 323 = 225
接收者收到225後，進行解密，225^ 29 mode 323 = 123

回顧上面的密鑰生成步驟，一共出現六個數字：
p
q
n
L即φ(n)
e
d
這六個數字之中，公鑰用到了兩個（n和e），其餘四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d，因為n和d組成了私鑰，一旦d泄漏，就等於私鑰泄漏。那麼，有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。
結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味著私鑰被破解。
可是，大整數的因數分解，是一件非常困難的事情。目前，除了暴力破解，還沒有發現別的有效方法。維基網路這樣寫道："對極大整數做因數分解的難度決定了RSA演算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA演算法愈可靠。假如有人找到一種快速因數分解的演算法，那麼RSA的可靠性就會極度下降。但找到這樣的演算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密鑰才可能被暴力破解。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA演算法的方式。只要密鑰長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。"

然而，雖然RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何。此外，RSA的缺點還有：
A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。
B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600bits以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。因此， 使用RSA只能加密少量數據，大量的數據加密還要靠對稱密碼演算法 。

加密和解密是自古就有技術了。經常看到偵探電影的橋段，勇敢又機智的主角，拿著一長串毫無意義的數字苦惱，忽然靈光一閃，翻出一本厚書，將第一個數字對應頁碼數，第二個數字對應行數，第三個數字對應那一行的某個詞。數字變成了一串非常有意義的話：
Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

這種加密方法是將原來的某種信息按照某個規律打亂。某種打亂的方式就叫做密鑰(cipher code)。發出信息的人根據密鑰來給信息加密，而接收信息的人利用相同的密鑰，來給信息解密。 就好像一個帶鎖的盒子。發送信息的人將信息放到盒子里，用鑰匙鎖上。而接受信息的人則用相同的鑰匙打開。加密和解密用的是同一個密鑰，這種加密稱為對稱加密（symmetric encryption）。

如果一對一的話，那麼兩人需要交換一個密鑰。一對多的話，比如總部和多個特工的通信，依然可以使用同一套密鑰。 但這種情況下，對手偷到一個密鑰的話，就知道所有交流的信息了。 二戰中盟軍的情報戰成果，很多都來自於破獲這種對稱加密的密鑰。

為了更安全，總部需要給每個特工都設計一個不同的密鑰。如果是FBI這樣龐大的機構，恐怕很難維護這么多的密鑰。在現代社會，每個人的信用卡信息都需要加密。一一設計密鑰的話，銀行怕是要跪了。

對稱加密的薄弱之處在於給了太多人的鑰匙。如果只給特工鎖，而總部保有鑰匙，那就容易了。特工將信息用鎖鎖到盒子里，誰也打不開，除非到總部用唯一的一把鑰匙打開。只是這樣的話，特工每次出門都要帶上許多鎖，太容易被識破身份了。總部老大想了想，乾脆就把造鎖的技術公開了。特工，或者任何其它人，可以就地取材，按照圖紙造鎖，但無法根據圖紙造出鑰匙。鑰匙只有總部的那一把。

上面的關鍵是鎖和鑰匙工藝不同。知道了鎖，並不能知道鑰匙。這樣，銀行可以將「造鎖」的方法公布給所有用戶。 每個用戶可以用鎖來加密自己的信用卡信息。即使被別人竊聽到，也不用擔心：只有銀行才有鑰匙呢！這樣一種加密演算法叫做非對稱加密(asymmetric encryption)。非對稱加密的經典演算法是RSA演算法。它來自於數論與計算機計數的奇妙結合。

1976年，兩位美國計算機學家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不直接傳遞密鑰的情況下，完成解密。這被稱為"Diffie-Hellman密鑰交換演算法"。這個演算法啟發了其他科學家。人們認識到，加密和解密可以使用不同的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關系即可，這樣就避免了直接傳遞密鑰。這種新的加密模式被稱為"非對稱加密演算法"。

1977年，三位數學家Rivest、Shamir 和 Adleman 設計了一種演算法，可以實現非對稱加密。這種演算法用他們三個人的名字命名，叫做RSA演算法。從那時直到現在，RSA演算法一直是最廣為使用的"非對稱加密演算法"。毫不誇張地說，只要有計算機網路的地方，就有RSA演算法。

1.能「撞」上的保險箱（非對稱/公鑰加密體制，Asymmetric / Public Key Encryption）

數據加密解密和門鎖很像。最開始的時候，人們只想到了那種只能用鑰匙「鎖」數據的鎖。如果在自己的電腦上自己加密數據，當然可以用最開始這種門鎖的形式啦，方便快捷，簡單易用有木有。

但是我們現在是通信時代啊，雙方都想做安全的通信怎麼辦呢？如果也用這種方法，通信就好像互相發送密碼保險箱一樣…而且雙方必須都有鑰匙才能進行加密和解密。也就是說，兩個人都拿著保險箱的鑰匙，你把數據放進去，用鑰匙鎖上發給我。我用同樣的鑰匙把保險箱打開，再把我的數據鎖進保險箱，發送給你。

這樣看起來好像沒什麼問題。但是，這裡面 最大的問題是：我們兩個怎麼弄到同一個保險箱的同一個鑰匙呢？ 好像僅有的辦法就是我們兩個一起去買個保險箱，然後一人拿一把鑰匙，以後就用這個保險箱了。可是，現代通信社會，絕大多數情況下別說一起去買保險箱了，連見個面都難，這怎麼辦啊？

於是，人們想到了「撞門」的方法。我這有個可以「撞上」的保險箱，你那裡自己也買一個這樣的保險箱。通信最開始，我把保險箱打開，就這么開著把保險箱發給你。你把數據放進去以後，把保險箱「撞」上發給我。撞上以後，除了我以外，誰都打不開保險箱了。這就是RSA了，公開的保險箱就是公鑰，但是我有私鑰，我才能打開。

2.數字簽名
這種鎖看起來好像很不錯，但是鎖在運輸的過程中有這么一個嚴重的問題：你怎麼確定你收到的開著的保險箱就是我發來的呢？對於一個聰明人，他完全可以這么干：
(a)裝作運輸工人。我現在把我開著的保險箱運給對方。運輸工人自己也弄這么一個保險箱，運輸的時候把保險箱換成他做的。
(b)對方收到保險箱後，沒法知道這個保險箱是我最初發過去的，還是運輸工人替換的。對方把數據放進去，把保險箱撞上。
(c)運輸工人往回運的時候，用自己的鑰匙打開自己的保險箱，把數據拿走。然後復印也好，偽造也好，弄出一份數據，把這份數據放進我的保險箱，撞上，然後發給我。
從我的角度，從對方的角度，都會覺得這數據傳輸過程沒問題。但是，運輸工人成功拿到了數據，整個過程還是不安全的，大概的過程是這樣：

這怎麼辦啊？這個問題的本質原因是，人們沒辦法獲知，保險箱到底是「我」做的，還是運輸工人做的。那乾脆，我們都別做保險箱了，讓權威機構做保險箱，然後在每個保險箱上用特殊的工具刻上一個編號。對方收到保險箱的時候，在權威機構的「公告欄」上查一下編號，要是和保險箱上的編號一樣，我就知道這個保險箱是「我」的，就安心把數據放進去。大概過程是這樣的：

如何做出刻上編號，而且編號沒法修改的保險箱呢？這涉及到了公鑰體制中的另一個問題：數字簽名。
要知道，刻字這種事情吧，誰都能幹，所以想做出只能自己刻字，還沒法讓別人修改的保險箱確實有點難度。那麼怎麼辦呢？這其實困擾了人們很長的時間。直到有一天，人們發現：我們不一定非要在保險箱上刻規規矩矩的字，我們乾脆在保險箱上刻手寫名字好了。而且，刻字有點麻煩，乾脆我們在上面弄張紙，讓人直接在上面寫，簡單不費事。具體做法是，我們在保險箱上嵌進去一張紙，然後每個出產的保險箱都讓權威機構的CEO簽上自己的名字。然後，CEO把自己的簽名公開在權威機構的「公告欄」上面。比如這個CEO就叫「學酥」，那麼整個流程差不多是這個樣子：

這個方法的本質原理是，每個人都能夠通過筆跡看出保險箱上的字是不是學酥CEO簽的。但是呢，這個字體是學酥CEO唯一的字體。別人很難模仿。如果模仿我們就能自己分辨出來了。要是實在分辨不出來呢，我們就請一個筆跡專家來分辨。這不是很好嘛。這個在密碼學上就是數字簽名。

上面這個簽字的方法雖然好，但是還有一個比較蛋疼的問題。因為簽字的樣子是公開的，一個聰明人可以把公開的簽字影印一份，自己造個保險箱，然後把這個影印的字也嵌進去。這樣一來，這個聰明人也可以造一個相同簽字的保險箱了。解決這個問題一個非常簡單的方法就是在看保險箱上的簽名時，不光看字體本身，還要看字體是不是和公開的字體完全一樣。要是完全一樣，就可以考慮這個簽名可能是影印出來的。甚至，還要考察字體是不是和其他保險櫃上的字體一模一樣。因為聰明人為了欺騙大家，可能不影印公開的簽名，而影印其他保險箱上的簽名。這種解決方法雖然簡單，但是驗證簽名的時候麻煩了一些。麻煩的地方在於我不僅需要對比保險箱上的簽名是否與公開的筆跡一樣，還需要對比得到的簽名是否與公開的筆跡完全一樣，乃至是否和所有發布的保險箱上的簽名完全一樣。有沒有什麼更好的方法呢？

當然有，人們想到了一個比較好的方法。那就是，學酥CEO簽字的時候吧，不光把名字簽上，還得帶上簽字得日期，或者帶上這個保險箱的編號。這樣一來，每一個保險箱上的簽字就唯一了，這個簽字是學酥CEO的簽名+學酥CEO寫上的時間或者編號。這樣一來，就算有人偽造，也只能偽造用過的保險箱。這個問題就徹底解決了。這個過程大概是這么個樣子：

3 造價問題（密鑰封裝機制，Key Encapsulation Mechanism）
解決了上面的各種問題，我們要考慮考慮成本了… 這種能「撞」門的保險箱雖然好，但是這種鎖造價一般來說要比普通的鎖要高，而且鎖生產時間也會變長。在密碼學中，對於同樣「結實」的鎖，能「撞」門的鎖的造價一般來說是普通鎖的上千倍。同時，能「撞」門的鎖一般來說只能安裝在小的保險櫃裡面。畢竟，這么復雜的鎖，裝起來很費事啊！而普通鎖安裝在多大的保險櫃上面都可以呢。如果兩個人想傳輸大量數據的話，用一個大的保險櫃比用一堆小的保險櫃慢慢傳要好的多呀。怎麼解決這個問題呢？人們又想出了一個非常棒的方法：我們把兩種鎖結合起來。能「撞」上的保險櫃裡面放一個普通鎖的鑰匙。然後造一個用普通的保險櫃來鎖大量的數據。這樣一來，我們相當於用能「撞」上的保險櫃發一個鑰匙過去。對方收到兩個保險櫃後，先用自己的鑰匙把小保險櫃打開，取出鑰匙。然後在用這個鑰匙開大的保險櫃。這樣做更棒的一個地方在於，既然對方得到了一個鑰匙，後續再通信的時候，我們就不再需要能「撞」上的保險櫃了啊，在以後一定時間內就用普通保險櫃就好了，方便快捷嘛。

以下參考 數字簽名、數字證書、SSL、https是什麼關系？
4.數字簽名（Digital Signature）
數據在瀏覽器和伺服器之間傳輸時，有可能在傳輸過程中被冒充的盜賊把內容替換了，那麼如何保證數據是真實伺服器發送的而不被調包呢，同時如何保證傳輸的數據沒有被人篡改呢，要解決這兩個問題就必須用到數字簽名，數字簽名就如同日常生活的中的簽名一樣，一旦在合同書上落下了你的大名，從法律意義上就確定是你本人簽的字兒，這是任何人都沒法仿造的，因為這是你專有的手跡，任何人是造不出來的。那麼在計算機中的數字簽名怎麼回事呢？數字簽名就是用於驗證傳輸的內容是不是真實伺服器發送的數據，發送的數據有沒有被篡改過，它就干這兩件事，是非對稱加密的一種應用場景。不過他是反過來用私鑰來加密，通過與之配對的公鑰來解密。
第一步：服務端把報文經過Hash處理後生成摘要信息Digest，摘要信息使用私鑰private-key加密之後就生成簽名，伺服器把簽名連同報文一起發送給客戶端。
第二步：客戶端接收到數據後，把簽名提取出來用public-key解密，如果能正常的解密出來Digest2，那麼就能確認是對方發的。
第三步：客戶端把報文Text提取出來做同樣的Hash處理，得到的摘要信息Digest1，再與之前解密出來的Digist2對比，如果兩者相等，就表示內容沒有被篡改，否則內容就是被人改過了。因為只要文本內容哪怕有任何一點點改動都會Hash出一個完全不一樣的摘要信息出來。

5.數字證書（Certificate Authority）
數字證書簡稱CA，它由權威機構給某網站頒發的一種認可憑證，這個憑證是被大家（瀏覽器）所認可的，為什麼需要用數字證書呢，難道有了數字簽名還不夠安全嗎？有這樣一種情況，就是瀏覽器無法確定所有的真實伺服器是不是真的是真實的，舉一個簡單的例子：A廠家給你們家安裝鎖，同時把鑰匙也交給你，只要鑰匙能打開鎖，你就可以確定鑰匙和鎖是配對的，如果有人把鑰匙換了或者把鎖換了，你是打不開門的，你就知道肯定被竊取了，但是如果有人把鎖和鑰匙替換成另一套表面看起來差不多的，但質量差很多的，雖然鑰匙和鎖配套，但是你卻不能確定這是否真的是A廠家給你的，那麼這時候，你可以找質檢部門來檢驗一下，這套鎖是不是真的來自於A廠家，質檢部門是權威機構，他說的話是可以被公眾認可的（呵呵）。
同樣的， 因為如果有人（張三）用自己的公鑰把真實伺服器發送給瀏覽器的公鑰替換了，於是張三用自己的私鑰執行相同的步驟對文本Hash、數字簽名，最後得到的結果都沒什麼問題，但事實上瀏覽器看到的東西卻不是真實伺服器給的，而是被張三從里到外（公鑰到私鑰）換了一通。那麼如何保證你現在使用的公鑰就是真實伺服器發給你的呢？我們就用數字證書來解決這個問題。數字證書一般由數字證書認證機構（Certificate Authority）頒發，證書裡麵包含了真實伺服器的公鑰和網站的一些其他信息，數字證書機構用自己的私鑰加密後發給瀏覽器，瀏覽器使用數字證書機構的公鑰解密後得到真實伺服器的公鑰。這個過程是建立在被大家所認可的證書機構之上得到的公鑰，所以這是一種安全的方式。

常見的對稱加密演算法有DES、3DES、AES、RC5、RC6。非對稱加密演算法應用非常廣泛，如SSH,
HTTPS, TLS，電子證書，電子簽名，電子身份證等等。
參考 DES/3DES/AES區別

E. 給出p、q、e、M，求公鑰，私鑰，並且利用RSA演算法加密和解密

假定用戶A要發送消息m給用戶B，1）用戶B要產生兩個素數p和q；2）用戶B計算n=pq和φ(n)=(p-1)(q-1)；3）用戶B選著一個數e（0<e<φ(n)),使得e和φ(n)互為素數；4）用戶B通過計算得出d，使得de除φ(n)的余數為1；5）用戶B將n和e作為公鑰公開；6）用戶A通過公開渠道查到n和e；7）用戶A對消息m進行加密，即E=m^e mod n=c(也就是說m的e次方除n的余數為c）；8）用戶B收到密文c後，進行解密D=c^d mod n。
公鑰就是（n,e) 私鑰就是（n,d)
ps:若不想產生數據溢出（mod後的數大於25）的話，n最好選取0~25之間的數；如若是解密後的明文不出現差錯，選取的n最好大於m中十進制數最大的數。
example:令26個英文字母對應於0-25的整數，用戶B產生兩個素數p=3，q=11，φ(n)=2*10=20，取e=3，則d=7，用戶B將n=33和e=3公開
如果A想發送in給B，則A會通過公共渠道找到（n,e),然後將信息加密，E(i)=8^3 mod 33=17,E（n）=13^3 mod 33=19 則它對應的密文為c=rt；用戶B收到A給的密文解密：D（r）=17^7 mod 33=8即明文i,D(t)=19 ^7 mod 33=13,即明文n。