沃爾什壓縮

① 壓縮感知的圖像處理與應用有哪些

數字圖像處理主要研究的內容有以下幾個方面：1） 圖像變換由於圖像陣列很大,直接在空間域中進行處理,涉及計算量很大.因此,往往採用各種圖像變換的方法,如傅立葉變換、沃爾什變換、離散餘弦變換等間接處理技術,將空間域的處理轉換為變換域處理,不僅可減少計算量,而且可獲得更有效的處理（如傅立葉變換可在頻域中進行數字濾波處理）.目前新興研究的小波變換在時域和頻域中都具有良好的局部化特性,它在圖像處理中也有著廣泛而有效的應用.2） 圖像編碼壓縮圖像編碼壓縮技術可減少描述圖像的數據量（即比特數）,以便節省圖像傳輸、處理時間和減少所佔用的存儲器容量.壓縮可以在不失真的前提下獲得,也可以在允許的失真條件下進行.編碼是壓縮技術中最重要的方法,它在圖像處理技術中是發展最早且比較成熟的技術.3） 圖像增強和復原圖像增強和復原的目的是為了提高圖像的質量,如去除雜訊,提高圖像的清晰度等.圖像增強不考慮圖像降質的原因,突出圖像中所感興趣的部分.如強化圖像高頻分量,可使圖像中物體輪廓清晰,細節明顯；如強化低頻分量可減少圖像中雜訊影響.圖像復原要求對圖像降質的原因有一定的了解,一般講應根據降質過程建立"降質模型",再採用某種濾波方法,恢復或重建原來的圖像.4） 圖像分割圖像分割是數字圖像處理中的關鍵技術之一.圖像分割是將圖像中有意義的特徵部分提取出來,其有意義的特徵有圖像中的邊緣、區域等,這是進一步進行圖像識別、分析和理解的基礎.雖然目前已研究出不少邊緣提取、區域分割的方法,但還沒有一種普遍適用於各種圖像的有效方法.因此,對圖像分割的研究還在不斷深入之中,是目前圖像處理中研究的熱點之一.5） 圖像描述是圖像識別和理解的必要前提.作為最簡單的二值圖像可採用其幾何特性描述物體的特性,一般圖像的描述方法採用二維形狀描述,它有邊界描述和區域描述兩類方法.對於特殊的紋理圖像可採用二維紋理特徵描述.隨著圖像處理研究的深入發展,已經開始進行三維物體描述的研究,提出了體積描述、表面描述、廣義圓柱體描述等方法.6） 圖像分類（識別）圖像分類（識別）屬於模式識別的范疇,其主要內容是圖像經過某些預處理（增強、復原、壓縮）後,進行圖像分割和特徵提取,從而進行判決分類.圖像分類常採用經典的模式識別方法,有統計模式分類和句法（結構）模式分類,近年來新發展起來的模糊模式識別和人工神經網路模式分類在圖像識別中也越來越受到重視.

② 沃爾什變換的定義

1923年，美國數學系J.L Walsh提出walsh函數。函數展開有三種：Walsh序的Walsh函數，佩利序的Walsh函數，哈達瑪序的Walsh函數。
沃爾什變換主要用於圖像變換，屬於正交變換。這種變換壓縮效率低，所以實際使用並不多。但它快速，因為計算只需加減和偶爾的右移操作。沃爾什變換的定義如下：給定一個NXN像素塊Pxy（N必須是2的冪），二維WHT定義為如圖1：
沃爾什函數Wal(k，t)是美國數學家J．L．沃爾什(J．L．Walsh)1923年提出的，定義在半開區間0≤t<1的一組完備、正交矩形函數，其波形如圖所示。從圖中可見，函數只取+1和-1兩個值。顯然，它的抽樣也只有+1和-1兩個值，與數字邏輯中的兩種狀態相應，特別適合於數字信號處理。沃爾什變換與傅里葉變換相比，由於它只存在實數的加、減法運算而沒有復數的乘法運算，使得計算速度快、存儲空間少，有利於硬體實現，對實時處理和大量數據操作具有特殊吸引力。在通信系統中由於它的正交性和具有則早橡取值和演算法簡單等優點，便於構成正交的多路復用系統。
沃爾什函數與正弦-弦函數相同，也是一種完備的正交函數系。所謂完備性，就是所有相互正交的函數全部包括在該函睜昌數組內，再沒有別的非零函數與它正交。因而，與在一定條件下，函數可以表示為傅里葉級數相似，對任一在0≤t<1單位區間平方可積的周期函數x(t)均可展開為沃爾什級數，且此級數具有收斂性。即，按x(t+1)=x(t)，則對所有t都有如圖2.
式中a0是直流項，ak是序號為k的沃爾什波的幅度，其大小由下式確定，即如圖3

由此可見，沃爾什級數可用於信號序列率譜分析，特別是被逼近的波形不光滑而是階梯函數時，效果較傅里葉級數好。為了便於數字處理，對連續沃爾什函數進行等間隔抽樣。設單位時間內取N個樣點，則抽樣間隔△t=1/N，以X(k)代替ak，故②式改寫成為如圖4
式③即離散沃爾什變換（DWT）的定義式。若已知輸入信號數據x(n)，可求得相應序率譜幅度系數X（k）。同理，已知X（k)可通過逆變換求x(n)，即如圖5

按沃爾什編號的沃爾什函數
沃爾什函數與正弦函數有所不同，在單位區間內由於不一定是周期函數，所以過零點的分布不一定是等間隔的。如圖6所示。但為了與正弦函數的頻率相對應，因此沃爾什函數定義單位時間內波形過零點數務(或變號數 ）為序率，它的1/2為列率並以Sk表示，即如圖7
圖中8個波形的序率是按自然遞增的順序排列的，所以稱這種排列為按沃爾什編號（或列率排列）的沃爾什函數，以Walω(k，t)表示。下腳注ω表示按沃爾什編號。此外還有佩利（Paley)編號Walp(k，t)和哈達理(Hadamard)編號Walh(k，t)共三類。這三類編號的沃爾什變換是完全等價的，實際上只是排列次序有所不同而已。由於按哈達瑪編號的沃爾什變換（WHT）其變換矩陣具有簡單的遞推關系，且正、反變換矩陣完全相同，所以獲得廣泛應用。如通信領域中的多路數字通信系統、語音加密、孫旁視頻編碼系統、雷達系統、圖像通信系統；在信號處理領域中的信號分析與綜合、功率譜分析、模式識別、圖像處理。特別是在圖像傳輸、存儲系統中，用於圖像壓縮非常有效。
沃爾什變換雖有上述許多優點，但與建立在正、餘弦函數基礎上的傅里葉變換相比，在理論上和實踐上還有許多問題需要研究和進一步解決。如相關與卷積的運算，以及如何從經濟上和技術上解決以矩形波為基礎的設備，來取代現有以正弦波為基礎的大量設備等問題。