方程壓縮

1. 壓縮映射原理 數學老師告訴你壓縮映射是什麼

1、壓縮映射法是不動點法中一種常用的方法。它的根據是壓縮映射原理：設X是一個完備的距離空間，f是從X到X的一個壓縮映射，那麼f在X中必有且僅有一個不動點，而且從X的任何點x。出發作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…這序列一定收斂到f的那個不動點。稱f是壓縮映射，如果它把X中每兩點的距離至少壓縮k倍，這里k是一個小於1的常數，也就是說X中每兩點x與y的像f(x)與f(y)的距離d(f(x)，f(y))不超過x與y的距離d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

2、壓縮映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年給出的，這種思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。該法能夠提供許多種方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能轉化為某個壓縮映射的不動點。這一方法已經推廣到非擴展映射、映射族、集值映射、概率度量空間等許多方面。

2. 水的壓縮方程

假定水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

地下水動力學（第五版）

或

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式中：p為壓強；V為水的體積；β為水的體積彈性壓縮/膨脹系數。因為V隨p的增大而減小，即 ，而β規定為正值，所以上兩式右側有一負號。

β的倒數稱為體積彈性模量E，E值愈大，愈不易變形。β與E值也隨溫度而變化，但變化不大，一般可視為常數。β的單位是l/MPa，E的單位是MPa。當改變1個大氣壓時，水的體積只改變大約0.046‰。

對方程（2-2-3）式進行積分

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依照馬克勞林級數

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故有

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考慮到β值很小，在壓強變化不大的條件下，上式可近似取前兩項，因此（2-2-4）式可改寫為

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或

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該式就是水的壓縮狀態方程，它表徵V與p間的關系。

水壓p的變化引起水體積V的變化，但水的質量m是不變的。由m＝ρV的關系可知：若體積V增大，則密度ρ相應減小；反之，若體積V減小，則ρ增大。因此，由方程（2-2-3）式

也可引出ρ與p的關系。由於 ，有

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將此關系代入方程（2-2-3）式，得

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即

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