壓縮映射定理

『壹』 Banach不動點定理與隱函數存在定理

定義 壓縮映射 設 是度量空間， 是 到 中的映射，如果存在一個數 , , 使得對所有的

則稱T是壓縮映射.

定理1 壓縮映射定理（不動點定理） 壓縮映射有唯一的不動點.

設 是完備的度量空間， 是 上的壓縮映射，那麼 有且只有一個不動點（也就是說，方程 有且只有一個解）.

證明 略圓耐.

定理2 隱函數存在定理 設函數 在帶狀區域 中處處連續，且處處有關於y的偏導數 . 如果還存在常數m和M，滿足 , ,
則方橘搏春程 在區間 上必有唯一的連續函數 作為解，即

證明 在完備空間 中作映射 , 使得對任意的函數 , 有 . 按照定理條件, 是連續的, 因此 也連續, 即 . 所以 是 到自身的映射.

現在證明A是壓縮映射. 任取 , 根據微分中值定理, 存銀前在 , 滿足

由於 , 所以令 , 則有 , 且

按 中距離的定義, 即知

因此 是壓縮映射. 由壓縮映射原理, 存在唯一的 , 滿足 , 即 . 因此,

證畢.

『貳』 壓縮映射原理求極限

壓縮映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通過對考研中數列極限的典型例題的解析，歸納總結出適合壓縮映射原理求極限數列的一般形式，展示壓縮映射原理在解決遞推數學列極限中的優越性.

關鍵詞: 壓縮映射原理 極限 遞推數列

壓縮映射原理是著名的波蘭數學家Stefan Banach在1922年提出的，它是整個分析科學中最常用的存在性理論，應用非常廣泛，如隱函數存在性定理、微分方程解的存在唯一性.這里我們主要研究壓縮映射原理在數列極限中的應用.許多參考資料都講過這個方面的應用，如文獻[1-3].在前人的基礎上，筆者結合自己的教學體會，系統歸納總結了壓縮映射原理在一類遞推數列極限中的應用，進一步展示其優越性.

1.基本概念和定理

為了結構的完整和敘述的方便，我們給出文獻中的幾個概念和定理.

定義1.1設(X，ρ)為一個度量空間，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，則稱T是X到X的一個壓縮映射.

定理1.2(壓縮映射原理)設(X，ρ)為一個完備的距離空間，T是X到X的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事實上，這兩個結果在一般的實數R上也成立，有如下結果.

2.應用

類型一:直接應用定理型

下面我們看一道競賽試題.

由於壓縮映射原理在許多教材中沒有給出，但其實用性很強，因此在教學過程可以補充給出，讓學有餘力的學生自己查閱相關文獻.這類題目常見於考研試題和競賽試題，只要出現迭代數列形式，就可以嘗試利用壓縮映射原理來考慮，問題的關鍵是確定函數是否為壓縮函數，同時一定要注意函數的定義域.我們可以把這類問題歸結為如下形式.

類型二:先轉化再應用型

這類問題中雖然沒有明顯的迭代條件，但可以先考慮通常的方法，如單調有界定理、柯西收斂逐准則及夾逼定理等，也可以嘗試往壓縮映射原理條件上去湊，或許有意外的收獲.以上幾個例子都是數列極限中常見的典型例題，但幾乎所有的教學參考書籍都沒有提及利用壓縮映射原理解決該問題，事實上，利用該方法解決上述例題更簡潔.數學分析中很多問題的解決都得益於把已知條件往解決方法原理的條件上「湊」，這種「湊」是一種技巧、策略，它是解決數學分析中問題的常見策略，初學者需要仔細體會.

數列極限的求解方法多種多樣，每種方法都有其條件要求和適用范圍，需要靈活運用.壓縮映射原理也不例外，在應用是時一定要注意條件的驗證，同時要注意其使用范

『叄』 不動點定理和差分定理區別

泛函分析這門學科在其它數學分支乃至其它學科都有相當廣泛的應用。而我們第一章所討論的距離空間及其上的連續映射則在解決微分方程、積分方程等領域有著十分重要的用處，其具體表現為不動點定理。下面我們重點介紹一類最為簡單的不動點定理：壓縮映射原理。
定理1：設X是完備的距離空間，距離為 .T是X到其自身的映射，且對於任意的 ，不等式

成立，其中 是宏御滿足不等式 的常數。那麼T在X中存在唯一的不動點，即存在唯一的 ，使得 ，且 可以用迭代法求得。
證明：在X中任意取定一點 ，並令

我們證明 是X中的一個基本點列。由以下諸關系式


並應用歸納法可以證明：
,
於是我們有

由假設， ，故 ，於是 是基本點列。由於X完備，故 收斂於X中某一點 。另一方面，又根據 ,T是連續映射。故我們在 中，令 ，得到

因此 是T的一個不動點。
現在證明該不動點是唯一的。設另有 ，使得 ，則

由於 ，故 即 。唯一性成立。
滿足條件 的映射稱為壓縮映射。
註：
1、很多時候方程Tx=x的不動點 很難求得，但是我們很多時候並不需要這個不動點的精確值，於是我們可以用 作為其近似值。這自然要求我們關注近似值與精確值的接近程度（即誤差）。而誤差由以下估計式即可得知:

要想證明上式成立，只需注意到 證明中 並取 即可。
2、定理1的條件可以適當放寬，我們不需要非得要求 在整個距離空間都成立，而只需要它在零次近似 為中心的某個閉球 內滿足即可，不過需要補充條件：

3、注意 與 的區別。二者不能再上述定理中替換。
下面我們重點關注壓縮映射原理在方程領域的一些應用：
例1：微分方程解的存在性和唯一性：
考察微分方程：

其中 在整個平面連續，此外還設 關於y滿足利普希茨條件：

其中 為常數。那麼通過任一給定的點 ，上述微分方程有且僅有一條積分曲線。
由於上述微分方程有初值條件 等價於下面的積分方程：

我們取 ，使得 .在連續函數空間 內定義映射T:

則有

由於 ，故根據映射壓縮原理，存在唯一的連續函數 使得

故 連續可微，且 就是本例開頭的微分方程通過點 的積分曲線，當然它定義在區間 上，進一步可將解延拓至整個實數軸上（具體操作參閱常微分方程有關教科書）。
例2： 積分方程解的存在性和唯一性：
設有線性積分方程

其中 為給定的函數， 為參數，核 是定義在矩形區域 上的可測函數，滿足

那麼當參數 的模充分小的時候，上述方程有唯一解 .
令

由 不等式

以及T的定義可知，T是由 到其自身的映射。取 充分小，使得

於是我們有

故T為壓縮映射。根據壓縮映射原理，上述積分方程在 內有唯一解。
補例：隱函數存在定理:設函數 在條形區域
.
上處處連續，關於 的偏導數 ，有常數 使得在上述條形區域中

那麼方程 在閉區間 上必有唯一的連續解 .
證明：在完備空間 中作映射

這是到自身的壓縮映射。事實上，對於 ，由微分中值定理有 使得

由於 所以 令 ,便有

故 是 中的壓縮映射。故根據壓縮映射定理，有唯一的 使得
，
這就是說
.
下面我們對壓縮映射原理稍作推廣，以便我們更好的應用：
設 ，記 。以此類推，設已經定義了 ，令 。於是對任何自然數n， 都有定義。
定理2：設T是由完備距離空間X到其自身的映射，如果存在常數 以及自然數 使得

你那麼T在X中有唯一的不動點。
證明： 由定理中的不等式，我們知道映射 滿足定理1的條件，故 存在唯一的不動點 ,我們證明 也是映射T唯一的不動點。由

可知 是映射 的不動點。由 不動點的唯一性，可得 ，故 是映射T的不動點。若T另有不動點 ，則由：

可知 也是 的不動點，仍有唯一性，可得 。
作為上述定理的一個應用，我們來證明沃爾雹缺泰拉積分方程解的存在性與唯一性：
例3：設 是定義在三角形區域 上的連續函數，蔽肆岩則沃爾泰拉積分方程

對任何 以及任何常數 存在唯一的解 .
證明： 作 到其自身的映射T:

則對任意的 有

其中 為 的距離，用歸納法可以證明：

對任何給定的參數 ，總可以選取足夠大的n，使得
.
此時 滿足定理2的條件，故本例的積分方程在 中存在唯一解。

『肆』 巴拿赫不動點定理

巴拿赫不動點定理，又稱為壓縮映射定理或壓縮映射原理，是度量空間理論的一個重要工具；它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。

巴拿赫不動點這個定理是以斯特凡·巴拿赫(1892–1945)命名的，他在1922年提出了這個定理。

在數學中，不動點定理是指一個結果表示函數F在某種特定情況下，至少有一個不動點存在，即至少有一個點x能令函數F(x) = x。

在數學中有很多定理能保證函數在一定的條件下必定有一個或更多的不動點，而在這些最基本的定性結果當中存在不動點及其定理被應用的結孫態果具有非常普遍的價值。

克納斯特－塔斯基定理某種程度上從分析移除，而且不涉及連續函數。它指出在完全格上的任何單調函數都有一個不動點，甚至是一個最小不動點。見布爾巴基－維特定理。

迭代函數找不動點的技術還可用在集理論；正常函數的定點引理指出任何嚴格遞增的函數從序數有一個（甚至有許多）不動點。

在偏序集上的每個閉包運算元都有許多不動點；存在關於閉包運算元的「封閉要素」，它們是閉包運算元首先被定義的主要理由。

『伍』 能具體解釋如何用壓縮映射定理嗎 （泛函分析）證明:存在閉區間[0,1]上的連續函數x(t),使得

設ρ是C[0,1]上的距離ρ(x,y)=max|x(t)-y(t)| (t∈[0,1]),構造映射T，
(Tx)(t)=0.5sin[x(t)]-a(t)
因為肆斗橘sin[x(t)]和a(t)都是連續裂團函數，故Tx∈C[0,1]

ρ(Tx,Ty)=0.5max|sin[x(t)]-sin[y(t)]|
=max|sin{[x(t)-y(t)]/銷埋2}cos{[x(t)+y(t)]/2}| (和差化積公式)
≤max|sin{[x(t)-y(t)]/2}
≤0.5max|x(t)-y(t)|
=0.5ρ(x,y)
所以T是壓縮映射(0≤0.5<1)

根據壓縮映射原理，存在C[0,1]上的不動點x(t)，使x=Tx，即
:存在閉區間[0,1]上的連續函數x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t)

『陸』 如何將壓縮映射轉化為不動點定理呢

度量空間(M,d)上的壓縮映射，或壓縮，是一個從M到它本身的函數f，存在某個實數，使得對於所有M內的x和y，都有：滿足以上條件的最小的k稱為f的利普希茨常數。壓縮映射有時稱為利普希茨映射。如果以上的條件對於所有的都滿足，則該映射稱為非膨脹的。 更一般地，壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射。如果(M,d)和(N,d')是兩個度量空間，則我們尋找常數k，使得對於所有M內的x和y。 每一個壓縮映射都是利普希茨連續的，因此是一致連續的。 一個壓縮映射最多有肢侍一個不動點。另外，巴拿赫不動點定理說明，非空的完殲飢團備度量空間上的每一個壓縮映射都有氏橘唯一的不動點，且對於M內的任何x，迭代函數序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收斂於不動點。這個概念在迭代函數系統中是非常有用的，其中通常要利用壓縮映射。巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在，以及證明反函數定理。

『柒』 什麼是泛函分析它的四個基本定理是什麼

泛函分析，它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函，運算元和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。泛函分析在數學物理方程，概率論，計算數學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統的數學工具。

泛函分析的基本定理是罕-巴拿赫定理、選擇公理（Axiom of Choice）弱於布倫素理想定理（Boolean prime ideal theorem）、佐恩引理、壓縮映射定理。

(7)壓縮映射定理擴展閱讀：

泛函分析是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。半個多世紀來，一方面它不斷以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如運算元譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間（也稱拓撲向量空間）理論、廣義函數論等等。

另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立群上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。