壓縮行列式

A. 高數，雅可比行列式問題。

其實雅可比行列式的推導和線性代數有關，因為當你換元時，圖形的形狀是改變了的，根據矩陣的秩秩的相關知識，相當於壓縮了雅可比行列式的值的維數，所以要乘回雅可比行列式

B. 什麼是行列式

行列式

行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。

數學定義

n階行列式

設

但對於階數n≥4的方陣A，這樣的主對角線和副對角線分別只有n條，由於A的主、副對角線總條數 = 2n < (n − 1)n < n! = Sn的元素個數

因此，行列式的相加項中除了這樣的對角線乘積之外，還有其他更多的項。例如4階行列式中，項a1,2a2,3a3,1a4,4就不是任何對角線的元素乘積。不過，和2、3階行列式情況相同的是，n階行列式中的每一項仍然是從矩陣中選取n個元素相乘得到，且保證在每行和每列中都恰好只選取一個元素，而整個行列式恰好將所有這樣的選取方法遍歷一次。

另外，n×n矩陣的每一行或每一列也可以看成是一個n元向量，這時矩陣的行列式也被稱為這n個n元向量組成的向量組的行列式

C. n階三角矩陣的上三角元素值相等,進行壓縮存儲時,該值存儲在下標為多少的數組

摘要 三角行列式計算公式為：(-1)^(n(n-1))/2a1na2，n-1...an-1，2an1，三角行列式，無論是上或下，它的行列式里，只有主對角線(右斜順乘)不含零元素，其餘右斜順乘或左斜逆乘的項都有零元素，這些乘積項就都為零了，所以行列式就只是(剩下)主對角線各元素的乘積。

D. 實對稱矩陣行列式的值怎麼求，求方法！！！！！！

解: |A-λE|=

|2-λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|-2 -4 5-λ|

r3+r2 (消0的同時, 還能提出公因子, 這是最好的結果)

|2-λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|0 1-λ 1-λ|

c2-c3

|2-λ 4 -2|

|2 9-λ -4|

|0 0 1-λ|

= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展開, 再用十字相乘法)

= (1-λ)(λ^2-11λ+10)

= (10-λ)(1-λ)^2.

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，而且該矩陣對應的特徵值全部為實數，則稱A為實對稱矩陣。

主要性質：

1.實對稱矩陣A的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。

2.實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。

3.n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。

4.若λ0具有k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。

之前恰有j個元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1，因此有：

sa[i×(i+1)/2+j]=aij

③aij和sa[k]之間的對應關系：

若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2

令I=max(i，j)，J=min(i，j)，則k和i，j的對應關系可統一為：

k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

（3）對稱矩陣的地址計算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

通過下標變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應位置k。因此是隨機存取結構。

E. 怎麼判斷特徵值是否線性無關

組成一個矩陣，求秩，矩陣的秩=向量個數時無關，矩陣的秩<向量個數時相關
如果向量維數等於向量個數，把這些向量構成一個行列式，如果值非0則線性無關。

如果向量維數大於向量個數，需要取所有的向量維數等於個數的縮短組，計算行列式，如果存在非0則線性無關。

另外還可以施密特正交化，如果在某一步後得到0向量則線性相關。
①行列式是針對方陣的

②行列式=0，意味著空間壓縮，比如本來三維的，壓縮成了二維的平面（本來不在同一維度上的東西壓縮到了同一維度），線性相關

②行列式><0(不等於0），意味著空間未壓縮，維度不變，線性無關
1、定義法

令向量組的線性組合為零（零向量），研究系數的取值情況，線性組合為零當且僅當系數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的系數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。

2、向量組的相關性質

（1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；

（2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；

（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；

（4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。

（5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的

F. 矩陣的行列式是什麼

矩陣行列式是指矩陣的全部元素構成的行列式，設A=(aij)是數域P上的一個n階矩陣，則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。行列式的意義是變換後，空間的膨脹系數。要理解行列式，先理解向量的叉積。

三維矩陣的行列式是三個向量所張成的體積。

一個變換，在特徵向量所張成的坐標系下，是一個對角矩陣。對角線上的數字，是對應基向量的特徵值。特徵值表示的是，矩陣對單位基向量的縮放倍數。也就是說，特徵值代表著映射到另一個空間的單一維度的縮放比例。

對角矩陣的行列式等於特徵值的乘積。這一點，從特徵值和行列式的意義，不難直接得出。

如果行列式不為零，代表變換對每一個維度的縮放都不為零。所以這個映射是可逆的。矩陣是滿秩的。原空間和映射之後的空間的維度是相等的,映射後的空間與原空間在體積上擴大的倍數等於行列式，等於各個維度縮放倍數的乘積，也就是等於所有特徵值的乘積。

如果行列式為零，代表變換至少對一個維度的壓縮到了零點。所以這個映射是多對一的，矩陣不可逆。矩陣是非滿秩的。原空間和映射之後的空間的維度是不相等的，映射之後的空間維度降低了。向量空間經過矩陣映射之後，被壓縮了。

G. 行列式的本質

1，行列式是針對一個的矩陣而言的。表示一個維空間到維空間的線性變換。那麼什麼是線性變換呢？無非是一個壓縮或拉伸啊。假想原來空間中有一個維的立方體（隨便什麼形狀），其中立方體內的每一個點都經過這個線性變換，變成維空間中的一個新立方體。

2，原來立方體有一個體積，新的立方體也有一個體積。

3，行列式是一個數對不對？這個數其實就是 ，結束了。

就這么簡單？沒錯，就這么簡單。

所以說：行列式的本質就是一句話：

行列式就是線性變換的放大率！

理解了行列式的物理意義，很多性質你根本就瞬間理解到忘不了！！！比如這個重要的行列式乘法性質：



道理很簡單，因為放大率是相乘的啊~！

你先進行一個變換，再進行一個變換，放大兩次的放大率，就是式子左邊。
你把「先進行變換，再進行變換」定義作一個新的變換，叫做「」，新變換的放大律就是式子右邊。

然後你要問等式兩邊是否一定相等，我可以明確告訴你：too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像：

「 你經過股票投資，把1塊錢放大3被變成了3塊錢，然後經過實業投資，把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少？」



翻譯成線性代數的表達就是：



這還不夠！我來解鎖新的體驗哈~

上回咱們說到行列式其實就是線性變換的放大率，所以你理解了：


那麼很自然，你很輕松就理解了：


so easy，因為


同時你也必須很快能理解了

「矩陣可逆」 完全等價於 「」

因為再自然不過了啊，試想是什麼意思呢？不就是線性變換把之前說的維立方體給拍扁了啊？！這就是《三體》中的」降維打擊」有木有！！！如來神掌有木有！！！直接把3維立方體 piaji一聲~一掌拍成2維的紙片，紙片體積多少呢？當然是 0 啦！

請注意我們這里說的體積都是針對維空間而言的， 就表示新的立方體在 維空間體積為0，但是可能在維還是有體積的，只是在 維空間的標准下為0而已。好比一張紙片，「2維體積」也就是面積可以不為0，但是「3維體積」是妥妥的0。

所以凡是的矩陣都是耍流氓，因為這樣的變換以後就再也回不去了，降維打擊是致命性的。

H. 為什麼我算的行列式結果與答案不對

第一步第三行最後一個應該是負的12而不是負8，而且行列式之間不能用箭頭！應該用兩條橫線表示，而且還要寫上行初等變換的符號，c幾減c幾，望採納

I. 能幫我找一些特殊行列式的計算方法嗎

那什麼算是一般呢？你有那個題目或者類型不會呀。特殊行列式的話概念很多啊，有廣義行列式，壓縮行列式，量子行列式。行列式的堆，緊密樹等。