壓縮感知測量矩陣
A. 什麼是「壓縮感知」
壓縮感知， 也成為壓縮采樣。英文為Compressed Sampling 或者是 Compressive Sening。於2006年被提出，並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。
經典的采樣定理為香農/乃奎斯特采樣，即要保證信號的完全恢復，至少要有2倍的信號頻率采樣。但是這種采樣當中，其實信息是冗餘的。壓縮感知告訴我們，如果知道信號是稀疏的，那麼可以用遠低於乃奎斯特采樣率，一樣可以很好的恢復信號。
壓縮感知的核心：信號是稀疏的（即其中有K個為非零元素，其他的元素都為0），采樣矩陣和稀疏基是不相關的。
相關內容較多，網路知道裡面一下介紹不清楚。
如果有興趣可以參考 http://dsp.rice.e/cs 。這里前17篇是壓縮感知的綜述，看完後就對概念、模型、求解演算法、應用有個整體的了解。網頁中間的那麼多文獻是針對壓縮感知理論在各個領域的運用。在最後的部分，是網上現有的針對該問題的求解工具箱，大多數是基於Matlab的。只要分析後自己的模型，可以套用工具箱求解，非常方便。
B. 壓縮感知重構OMP演算法代碼
%A-稀疏系數矩陣
%D-字典/測量矩陣（已知）
%X-測量值矩陣（已知）
%K-稀疏度
function A=OMP(D,X,L)
[n,P]=size(X);
[n,K]=size(D);
for k=1:P
a=[];
x=X(:,k);
resial=x;%殘差
indx=zeros(L,1);%索引集
for j=1:L
proj=D'*resial;%D轉置與resial相乘，得到與resial與D每一列的內積值
pos=find(abs(proj)==max(abs(proj)));%找到內積最大值的位置
pos=pos(1);%若最大值不止一個，取第一個
indx(j)=pos;%將這個位置存入索引集的第j個值
a=pinv(D(:,indx(1:j)))*x;%indx(1:j)表示第一列前j個元素
resial=x-D(:,indx(1:j))*a;
end
temp=zeros(K,1);
temp(indx)=a;
A(:,k)=temp;%只顯示非零值及其位置
end
C. 壓縮感知究竟是什麼原理
壓縮感知（compressed sensing）。所謂壓縮感知，最核心的概念在於試圖從原理上降低對一個信號進行測量的成本。比如說，一個信號包含一千個數據，那麼按照傳統的信號處理理論，至少需要做一千次測量才能完整的復原這個信號。這就相當於是說，需要有一千個方程才能精確地解出一千個未知數來。但是壓縮感知的想法是假定信號具有某種特點（比如文中所描述得在小波域上系數稀疏的特點），那麼就可以只做三百次測量就完整地復原這個信號（這就相當於只通過三百個方程解出一千個未知數）。可想而知，這件事情包含了許多重要的數學理論和廣泛的應用前景，因此在最近三四年裡吸引了大量注意力，得到了非常蓬勃的發展。陶哲軒本身是這個領域的奠基人之一（可以參考《陶哲軒：長大的神童》一文），因此這篇文章的權威性毋庸諱言。另外，這也是比較少見的由一流數學家直接撰寫的關於自己前沿工作的普及性文章。需要說明的是，這篇文章是雖然是寫給非數學專業的讀者，但是也並不好懂，也許具有一些理工科背景會更容易理解一些。
D. 有沒有哪個兄弟有Sparse recovery using sparse matrices的翻譯啊
壓縮感測不是萬能的，
雖然它是信號和圖像處理領域最熱門的研究對象
但是它不可能解決所有問題
就像中科院李老師的話：
「壓縮感知根植於數學理論，它給目前國內浮躁的學術環境提了一個警鍾！因為只有很好地鑽研它的基本理論和方法，才能將其有效地應用在所關心的問題中；否則它只能是一劑春葯，一種無法名狀的春葯！」
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人們習慣於用正交基來表示信號，直到最近幾十年，人們才發現用冗餘的基元素集合來表示信號能夠取得更好的結果，當然我們追求的肯定是用最小數量的基元素來最優的表示信號，這就出現了信號的稀疏表示。
L1范數最小化最早並不是Donoho提出的，早在80年代，Fadil Santosa 和William Symes就曾提出了L1范數的最小化，而Donoho提出Compressed sensing 並不是換湯不換葯，CS並不是解決信號在一個完備集裡面的最優表示問題的，而是提出了一種新的信號採集或者測量方式，這種新的測量方式打破了Shannon-Nyquist定理在信號處理領域一手遮天的局面，已經提出，就引起了相關領域大批學者的關注。Shannon-Nyquist采樣定理要求在信號的採集階段以高於信號帶寬的兩倍采樣率來獲取信號，信號才能得到完美的重構，而CS則對信號的帶寬不再作要求，取而代之的是稀疏性，滿足條件的信號則可在遠少於SN采樣率的情況下精確的重構信號。
從數學上來說，CS是在一定的條件下求解欠定(不適定)方程，條件包括x要是稀疏的，測量矩陣要滿足RIP條件，那麼欠定(不適定)方程就會以很大的概率有唯一解。
E. 壓縮感知中 稀疏基有很多種 怎麼用matlab表示
- CS是個好東西，首先非零個數可以直接用find， length( find(a~=0) ) 就是a中非零元素的個數。
- 求解1范數有工具包的，l1-magic.
- 你要得到右圖，第一步需要把小波基寫成矩陣Phi，假設要分解的信號是y, 利用l1magic 求解 y=A*Phi*x , A是測量矩陣，如果你只是想用小波分解y，A取1就好了。 得到的x才是稀疏的，否則直接小波分解，得到的系數一般不稀疏
- 多看看壓縮感知的基礎，l1magic 也可以適當了解他的用法，對你肯定有幫助
F. 壓縮感測的原理
核心思想是將壓縮與采樣合並進行，首先採集信號的非自適應線性投影 (測量值)，然後根據相應重構演算法由測量值重構原始信號。壓縮感測的優點在於信號的投影測量數據量遠遠小於傳統采樣方法所獲的數據量，突破了香農采樣定理的瓶頸，使得高解析度信號的採集成為可能。
信號的稀疏表示就是將信號投影到正交變換基時，絕大部分變換系數的絕對值很小，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，以將其看作原始信號的一種簡潔表達，這是壓縮感測的先驗條件，即信號必須在某種變換下可以稀疏表示。 通常變換基可以根據信號本身的特點靈活選取， 常用的有離散餘弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor 基 以及冗餘字典等。 在編碼測量中， 首先選擇穩定的投影矩陣，為了確保信號的線性投影能夠保持信號的原始結構， 投影矩陣必須滿足約束等距性 (Restricted isometry property, RIP)條件， 然後通過原始信號與測量矩陣的乘積獲得原始信號的線性投影測量。最後，運用重構演算法由測量值及投影矩陣重構原始信號。信號重構過程一般轉換為一個最小L0范數的優化問題，求解方法主要有最小L1 范數法、匹配追蹤系列演算法、最小全變分方法、迭代閾值演算法等。
采樣定理（又稱取樣定理、抽樣定理）是采樣帶限信號過程所遵循的規律，1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1948年資訊理論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確說明並正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。該理論支配著幾乎所有的信號/圖像等的獲取、處理、存儲、傳輸等，即：采樣率不小於最高頻率的兩倍(該采樣率稱作Nyquist采樣率)。該理論指導下的信息獲取、存儲、融合、處理及傳輸等成為信息領域進一步發展的主要瓶頸之一，主要表現在兩個方面：
(1)數據獲取和處理方面。對於單個(幅)信號/圖像，在許多實際應用中(例如，超寬頻通信，超寬頻信號處理，THz成像，核磁共振，空間探測，等等）， Nyquist采樣硬體成本昂貴、獲取效率低下，在某些情況甚至無法實現。為突破Nyquist采樣定理的限制，已發展了一些理論，其中典型的例子為Landau理論， Papoulis等的非均勻采樣理論，M. Vetterli等的 finite rate of innovation信號采樣理論，等。對於多道(或多模式)數據(例如，感測器網路，波束合成，無線通信，空間探測，等)，硬體成本昂貴、信息冗餘及有效信息提取的效率低下，等等。
(2)數據存儲和傳輸方面。通常的做法是先按照Nyquist方式獲取數據，然後將獲得的數據進行壓縮，最後將壓縮後的數據進行存儲或傳輸，顯然，這樣的方式造成很大程度的資源浪費。另外，為保證信息的安全傳輸，通常的加密技術是用某種方式對信號進行編碼，這給信息的安全傳輸和接受帶來一定程度的麻煩。
綜上所述：Nyquist-Shannon理論並不是唯一、最優的采樣理論，研究如何突破以Nyquist-Shannon采樣理論為支撐的信息獲取、處理、融合、存儲及傳輸等的方式是推動信息領域進一步往前發展的關鍵。眾所周知：(1)Nyquist采樣率是信號精確復原的充分條件，但絕不是必要條件。(2)除帶寬可作為先驗信息外，實際應用中的大多數信號/圖像中擁有大量的structure。由貝葉斯理論可知：利用該structure信息可大大降低數據採集量。(3) Johnson-Lindenstrauss理論表明：以overwhelming性概率，K+1次測量足以精確復原N維空間的K-稀疏信號。
由D. Donoho(美國科學院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet創始人)及華裔科學家T. Tao(2006年菲爾茲獎獲得者，2008年被評為世界上最聰明的科學家)等人提出了一種新的信息獲取指導理論，即，壓縮感知或壓縮感測（Compressive Sensing(CS) or Compressed Sensing、Compressed Sampling）。該理論指出：對可壓縮的信號可通過遠低於Nyquist標準的方式進行采樣數據，仍能夠精確地恢復出原始信號。該理論一經提出，就在資訊理論、信號/圖像處理、醫療成像、模式識別、地質勘探、光學/雷達成像、無線通信等領域受到高度關注，並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。CS理論的研究尚屬於起步階段，但已表現出了強大的生命力，並已發展了分布CS理論(Baron等提出)，1-BIT CS理論(Baraniuk等提出)，Bayesian CS理論(Carin等提出)，無限維CS理論(Elad等提出)，變形CS理論(Meyer等提出)，等等，已成為數學領域和工程應用領域的一大研究熱點。
G. 壓縮感知的展望
非線性測量的壓縮感知。講壓縮感知解決的線性逆問題推廣到非線性函數參數的求解問題。廣義的講，非線性測量的壓縮感知，可以包括以前的測量矩陣不確定性問題，量化誤差問題，廣義線性模型問題，有損壓縮樣本問題。
壓縮感知在矩陣分解中的推廣應用。主成分分析，表示字典學習，非負矩陣分解，多維度向量估計，低秩或高秩矩陣恢復問題。
確定性測量矩陣的設計問題。 隨機矩陣在實用上存在難點。隨機矩陣滿足的RIP是充分非必要條件。在實際中，稀疏表示矩陣和隨機矩陣相乘的結果才是決定稀疏恢復性能字典。
傳統壓縮感知是以稀疏結構為先驗信息來進行信號恢復。當前最新進展顯示數據中存在的其他的簡單代數結果也作為先驗信息進行信號估計。聯合開發這些信號先驗信息，將進一步提高壓縮感知的性能。
H. 如何理解壓縮感知
壓縮感知的幾個看似稀鬆平常，但是很關鍵的理論基礎如下： 壓縮感知最初提出時，是針對稀疏信號x，給出觀測模型y=Φ*x時，要有怎麼樣的Φ，通過什麼樣的方式可以從y中恢復出x。（PS：稀疏信號，是指在這個信號x中非零元素的個數遠小於其中零元素的個數。） 然而，很多信號本身並非稀疏的，比如圖像信號。此時可以通過正交變換Ψ』，將信號投影到另外一個空間，而在這個空間中，信號a=Ψ'*x(analysis model)變得稀疏了。然後我們可以由模型y=Φ*a，即y=Φ*Ψ'*x，來恢復原始信號x。 後來，人們發現不僅僅能夠通過正交變換，得到稀疏的信號；還可以通過一個字典D，得到稀疏信號x=D*a(synthesis model)，a是稀疏的，為了增強變換後信號的稀疏性，通常D是過完備的。即模型y=Φ*x=Φ*D*a，此時記A^{CS}=Φ*D，即為感知矩陣。這個模型，是我們現在最常用的。
I. 請問壓縮感知理論中，「感知」究竟是對原信號還是對原信號的稀疏表達進行的(請看問題補充詳細描述)
測量矩陣phy測量的對象是原始信號x，測出來是測量值y，例如，有160個點（x），經測量後測量值y的點數明顯小於x的，這也是壓縮感知的目的 1、Phy是測量矩陣，而x可以用一組基（Psy）表達 2、對信號進行觀測 3、據我所知的幾種演算法恢復矩陣是根據測量矩陣和殘差弄出來的