壓縮映像定理

❶ 證明壓縮映像原理

f的絕對值不大於a
若a=1
則f的絕對值不大於1
則f在[-1，1]之間啊
則f存在不動點。

❷ 什麼是不動點

動點，是一個函數術語，在數學中是指「被這個函數映射到其自身一個點」。
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

❸ 不動點的原理

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x
不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

❹ 什麼是不動點

動點,是一個函數術語,在數學中是指「被這個函數映射到其自身一個點」.
不動點原理是數學上一個重要的原理,也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理,完整的表達：完備的度量空間上,到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點.用初等數學可以這么理連續映射f的定義域包含值域,則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上.假設X是拓撲空間,f:X→X是一個連續映射,且存在x∈X,使得f(x)=x,就稱x是不動點.

❺ 壓縮映射原理的證明

度量空間(M,d)上的壓縮映射，或壓縮，是一個從M到它本身的函數f，存在某個實數，使得對於所有M內的x和y，都有：滿足以上條件的最小的k稱為f的利普希茨常數。壓縮映射有時稱為利普希茨映射。如果以上的條件對於所有的都滿足，則該映射稱為非膨脹的。 更一般地，壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射。如果(M,d)和(N,d')是兩個度量空間，則我們尋找常數k，使得對於所有M內的x和y。 每一個壓縮映射都是利普希茨連續的，因此是一致連續的。 一個壓縮映射最多有一個不動點。另外，巴拿赫不動點定理說明，非空的完備度量空間上的每一個壓縮映射都有唯一的不動點，且對於M內的任何x，迭代函數序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收斂於不動點。這個概念在迭代函數系統中是非常有用的，其中通常要利用壓縮映射。巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在，以及證明反函數定理。

❻ 介紹函數不動點

函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點
不動點原理
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點
不動點應用
1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）
2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）
5 求解一階遞歸數列的極限

❼ 是壓縮映像原理還是壓縮映射原理

是壓縮映像原理

❽ 數學分析關於壓縮映像原理的一道題目！！

如圖所示，用到中學的遞推數列求通項公式的方法也可以哦

❾ f(x)=x的根是f(x)的不動點,怎麼理解這句話,它的幾何意義是什麼

不動點
函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點。例如，定義在實數上的函數f，
f(x) = x2 -3x + 4，
則2 是函數f的一個不動點，因為 f (2) = 2。
也不是每一個函數都具有不動點。例如 f(x) = x + 1就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於x + 1。用畫圖來說，不動點意味著點 (x,f(x)) 在直線y = x上，或者換句話說，函數f的圖像與那根直線有共點。這個例子的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：
完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。
用初等數學可以這么理解：
連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x

不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。

假設X是拓撲空間， f: : X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x) = x, 就稱x是不動點。

❿ 用壓縮映像原理證明方程 只有唯一的解x=0

條件應該是a ∈ (0,1)吧.
考慮映射f: R → R, f(x) = a·sin(x).
對任意x, y ∈ R, |f(x)-f(y)| = a|sin(x)-sin(y)|
= 2a|sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)|
≤ 2a|(x-y)/2| (|sin(t)| ≤ |t|, |cos(t)| ≤ 1)
= a|x-y|.
a ∈ (0,1), 故f是完備度量空間R上的壓縮映射.
由壓縮映射原理, f在R上存在唯一不動點, 即x = f(x)恰有1個解.
然而易見x = 0已經是1個解, 所以是x = a·sin(x)的唯一解.

說實話這里使用壓縮映像原理有點多餘, 對x ≠ 0直接用|sin(x)| < |x|放縮即可.