壓縮矩陣帶狀

1. 什麼是壓縮矩陣

在這里分開來給你解釋
矩陣是許多科學計算、工程數學尤其是數值分析中經常研究的對象，矩陣也就是二維數組,所以它可以採用順
序存儲是來存儲其中的元素。但有時矩陣的階數很高，同時在矩陣中游很多值相同的元素，或大多數元素的值為
零，這時再採用嚴格的順序存儲顯然是很浪費空間的，因為存儲零元素或許多值相同的元素是沒有意義的，因此為
了節省存儲空間，對這類矩陣通常採用壓縮存儲。
壓縮存儲：為多個值相同的元素值分配一個存儲空間，對零元素不分配存儲空間。
特殊矩陣：各個元素的分布有一定規律
系數矩陣：矩陣中多數元素值為零。

2. 矩陣的壓縮存儲是什麼

二維數組在形式上是矩陣，因此一般用二維數組來存儲矩陣。在不壓縮存儲的情況下，矩陣採用按行優先或按列優先方式存儲，佔用的存儲單元數等於矩陣的元素個數。在實際應用中，經常出現一些階數很高的矩陣，同時在矩陣中非零元素呈某種規律分布或者矩陣中有大量的零元素，若仍然用常規方法存儲，可能存儲重復的非零元素或零元素，這將造成存儲空間的大量浪費。因此對這類矩陣進行壓縮存儲，從而合理地利用存儲空間。

為了節省存儲空間，可以利用特殊矩陣的規律，對它們進行壓縮存儲，也就是說為多個值相同的元素只分配一個存儲單元，對零元素不分配空間。適合壓縮存儲的矩陣一般是值相同的元素或者零元素在矩陣中分布有一定規律的特殊矩陣和稀疏矩陣。常見的特殊矩陣有對稱矩陣、三角矩陣和對角矩陣。

3. 矩陣壓縮存儲的應用（稀疏矩陣運算器）

我給你源碼記得頂我啊！！最主要的是把分給我哦！！
include<time.h>/*用於下面的srand((unsigned)time(NULL));函數的頭文件*/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX_ARRAY_DIM 2
#define MAXSIZE 100
typedef struct
{
int aa[MAX_ARRAY_DIM];
int dim;
int *base;
}array;
typedef struct
{
int i,j;/*記錄非零元的行與列坐標*/
int e;/*記錄非零原的數值*/
}triple;/*構成非零元素*/
typedef struct
{
triple data[MAXSIZE];/*預期非零原最大個數*/
int *rpos;/*記錄各行第一個非零原的位置表*/
int mu,nu,tu;/*記錄稀疏矩陣的行列和非零原個數*/
}tsmatrix;
main()
{
void initarray(array *a);/*數組初始化*/
void createsMatrix(array *a);/*創建稀疏矩陣*/
void inittsmatrix(array *a,tsmatrix *m);/*初始化稀疏矩陣三元組*/
void outputtsmatrix(tsmatrix *m);/*輸出稀疏矩陣*/
void destroysmatrix(array *a);/*銷毀稀疏矩陣*/
void outputarray(array *a);/*輸出數組*/
void subtmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q);/*系數矩陣相減*/
void addsmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q);/*系數矩陣相加*/
void multsmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q);/*稀疏矩陣相乘*/
array a;
tsmatrix m,n,q;
int flag1=1,i;
srand((unsigned)time(NULL));
initarray(&a);/*初始化數組*/
createsMatrix(&a);/*創建稀疏矩陣*/
inittsmatrix(&a,&m);/*初始化稀疏矩陣三元組*/
outputtsmatrix(&m);/*輸出稀疏矩陣*/
outputarray(&a);/*輸出數組*/
destroysmatrix(&a);/*銷毀原數組*/
initarray(&a);/*初始化數組*/
createsMatrix(&a);/*創建稀疏矩陣*/
inittsmatrix(&a,&n);/*初始化稀疏矩陣三元組*/
outputtsmatrix(&n);/*輸出稀疏矩陣*/
outputarray(&a);/*輸出數組*/
destroysmatrix(&a);/*銷毀原數組*/
printf("2個三元數組已經創建成功，您要進行什麼操作？\n1.(m+n)\n2.(m-n)\n3.(m*n)\n4.(n-m)\n");
while(flag1)
{
fflush(stdin);
scanf("%d",&i);
switch(i)
{
case 1:addsmatrix(&m,&n,&q);flag1=0;break;
case 2:subtmatrix(&m,&n,&q);flag1=0;break;
case 3:multsmatrix(&m,&n,&q);flag1=0;break;
case 4:subtmatrix(&n,&m,&q);flag1=0;break;
default:printf("輸入錯誤請重新輸入\n您要進行什麼操作？1.(m+n)\n2.(m-n)\n3.(m*n)\n4.(n-m)\n\n");
}
}
printf("運算結果為\n");
outputtsmatrix(&q);/*輸出運算結果*/
}
void initarray(array *a)/*創建數組*/
{
int i,j;
printf("請輸入要創建的維數,(由於這里的作用是創建稀疏矩陣，建議輸入2)\n");
scanf("%d",&a->dim);
if(a->dim!=MAX_ARRAY_DIM)
{
printf("輸入維數超過界限\n");
exit(1);
}
for(i=0;i<a->dim;i++)
{
printf("請輸入第%d維的數據",i+1);
scanf("%d",&a->aa[i]);
if(a->aa[i]<1)
{
printf("輸入超過范圍\n");
exit(1);
}
}
j=1;
for(i=0;i<a->dim;i++)
j*=a->aa[i];
if(!(a->base=(int *)malloc(j*sizeof(int))))
{
printf("開辟空間失敗\n");
exit(1);
}
printf("數組創建成功\n");
}
void createsMatrix(array *a)/*創建稀疏矩陣*/
{
int i,j,k,l,m,n,flag1;
printf("是手動輸入還是電腦自行創建？\n選1.電腦自行創建\n選0.手動創建\n");
scanf("%d",&i);
if(i!=1&&i!=0)
{
printf("輸入格式錯誤\n");
exit(1);
}
if(i==0)/*手動輸入*/
{
printf("請輸入\n");
for(j=0;j<a->aa[0];j++)
{
for(k=0;k<a->aa[1];k++)
scanf("%d",&a->base[j*a->aa[1]+k]);
printf("\n");
}
}
else/*電腦自動輸入*/
{
l=rand()%(a->aa[0]*a->aa[1]/4)+1;/*預期計算要輸入多少個非零元*/
for(j=0;j<a->aa[0];j++)/*先將程序中所有的元素賦予0*/
for(k=0;k<a->aa[1];k++)
a->base[j*a->aa[1]+k]=0;
m=0;
while(m<l)/*輸入l個非零元*/
{
flag1=1;
while(flag1)/*被賦予的元素原本必須是零*/
{
i=rand()%a->aa[0];/*自動選擇行*/
j=rand()%a->aa[1];/*自動選擇列*/
if(a->base[i*a->aa[1]+j]==0)/*所選擇的元素是0*/
flag1=0;/*推出循環，否則繼續循環直到，是零為止*/
}
flag1=1;
a->base[i*a->aa[1]+j]=rand()%10;/*賦值10以內*/
n=rand()%10;
if(n<5)
a->base[i*a->aa[1]+j]*=-1;/*輸入正負*/
m++;
}
}
}
void inittsmatrix(array *a,tsmatrix *m)/*稀疏矩陣非零原初始化*/
{
int i,j,k=0,*num;
for(i=0;i<a->aa[0];i++)/*輸入非零原坐標及數據*/
for(j=0;j<a->aa[1];j++)
if(a->base[i*a->aa[1]+j]!=0)
{
m->data[k+1].i=i+1;
m->data[k+1].j=j+1;
m->data[k+1].e=a->base[i*a->aa[1]+j];
k++;
}
m->mu=a->aa[0];/*記錄行*/
m->nu=a->aa[1];/*記錄列*/
m->tu=k;/*記錄非零原數量*/
if(!(num=(int *)malloc((m->mu+1)*sizeof(int))))/*num用於記錄每行的非零原的個數*/
{
printf("空間開辟失敗\n");
exit(1);
}
if(!(m->rpos=(int *)malloc((m->mu+1)*sizeof(int))))/*本人認為數據結構上的rpos定義有錯誤，如果某一行全都是非零元那m->rpos[i]=0並不是m->rpos[i-1]+num[i-1]所以以下的rpos操作可能與書上的原意不符*/
{
printf("空間開辟失敗\n");
exit(1);
}
for(i=0;i<=m->mu;i++)/*初始化num*/
num[i]=0;
for(i=1;i<=m->tu;i++)/*記錄每行非零原的個數*/
++num[m->data[i].i];
if(num[1]==0)/*如果第一行沒有非零原的話那m->rops[1]=0，這就是我修改的原因，如果按照書上寫的話，那應該是1，對以後的操作有麻煩*/
{
m->rpos[1]=0;
j=0;
}
else/*否則記1*/
{
m->rpos[1]=1;
j=num[1];
}
for(i=2;i<=m->mu;i++)/*運算*/
{
if(num[i]==0)
m->rpos[i]=0;/*當前這一行並沒有非零元所以記錄1*/
else/*否則記錄所對應的序列號*/
{
m->rpos[i]=j+1;
j+=num[i];
}
if(j>=m->tu)/*如果j的數量已經等於所有非零原的數量,那就應該退出循環*/
break;
}
while(i<=m->mu)/*如果半路退出循環，那麼剩下的每行，都沒有非零原*/
i++,m->rpos[i]=0;
}
void outputtsmatrix(tsmatrix *m)/*輸出稀疏矩陣*/
{
int i;
printf("三元組表為\n");
for(i=1;i<=m->tu;i++)
printf("%d行 %d列 %d\n",m->data[i].i,m->data[i].j,m->data[i].e);
printf("行為%d列為%d\n",m->mu,m->nu);
for(i=1;i<=m->mu;i++)
printf("%d行的第一個元素所在位置表的位置是%d\n",i,m->rpos[i]);

}
void destroysmatrix(array *a)/*銷毀稀疏矩陣*/
{
if(!a->base)exit(1);
free(a->base);a->base=NULL;
printf("\n稀疏矩陣數組銷毀成功(*^__^*) \n\n");
}
void outputarray(array *a)/*輸出數組*/
{
int i,j;
for(i=0;i<a->aa[0];i++)
{
for(j=0;j<a->aa[1];j++)
printf("%2d ",a->base[i*a->aa[1]+j]);
printf("\n");
}
}
void smatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *t)/*復制稀疏矩陣*/
{
int i;
t->mu=m->mu,t->nu=m->nu,t->tu=m->tu;
if(!(t->rpos=(int *)malloc((t->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("開辟控制項失敗\n");
exit(1);
}
if(t->tu)
{
for(i=1;i<=m->tu;i++)
{
t->data[i].i=m->data[i].i;
t->data[i].j=m->data[i].j;
t->data[i].e=m->data[i].e;
}
}
for(i=1;i<=t->mu;i++)
t->rpos[i]=m->rpos[i];
}
void subtmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q)/*稀疏矩陣相減*/
{
int i,j,k,a,b,c,x,y,z,*num;
q->mu=m->mu>n->mu?m->mu:n->mu;
q->nu=m->nu>n->nu?m->nu:n->nu;
q->tu=0;
if(!(num=(int *)malloc((q->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("創建空間失敗\n");
exit(1);
}
if(!(q->rpos=(int *)malloc((q->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("創建空間失敗\n");
exit(1);
}
for(i=1;i<=q->mu;i++)
num[i]=0;
if(m->tu==0)
smatrix(n,q);
else if(n->tu==0)
smatrix(m,q);
else
{
i=j=k=1;
while(i<=m->tu&&j<=n->tu)
{
a=m->data[i].i;
b=m->data[i].j;
c=m->data[i].e;/*分別記錄m的3元組的數據*/
x=n->data[j].i;
y=n->data[j].j;
z=n->data[j].e;
if(a==x)/*如果m,n行相等*/
{
if(b==y)/*如果行列都相等*/
{
if(c-z!=0)/*如果m-n!=0*/
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c-z;
k++;
}
i++,j++;/*無論是否m-n==0i,j都要+1*/
}
else if(b<y)/*如果行相等但是列不相等q下一個三元組應該取坐標相對較小的*/
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c;
k++;
i++;
}
else if(b>y)
{
num[x]++;
q->data[k].i=x;
q->data[k].j=y;
q->data[k].e=-z;
k++;j++;
}
else
printf("不可能出現的事情\n");
}
else if(a>x)
{
num[x]++;
q->data[k].i=x;
q->data[k].j=y;
q->data[k].e=-z;
k++;j++;
}
else if(a<x)
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c;
k++;i++;
}
else
printf("不可能發生的事情\n");
}
if(i>m->tu&&j<=n->tu)/*如果m的三元組記錄完了但是n的三元組沒有記錄完那麼剩下的應該全復制*/
{
while(j<=n->tu)
{
num[n->data[j].i]++;
q->data[k].i=n->data[j].i;
q->data[k].j=n->data[j].j;
q->data[k++].e=-n->data[j++].e;
}
}
else if(j>n->tu&&i<=m->tu)/*如果n的三元組記錄完了但是m的三元組沒有記錄完那麼剩下的應該全復制*/
{
while(i<=m->tu)
{
n->data[m->data[i].i].i;
q->data[k].i=m->data[i].i;
q->data[k].j=m->data[i].j;
q->data[k++].e=m->data[i++].e;
}
}
q->tu=k-1;
if(num[1]==0)/*如果第一行沒有非零原的話那m->rops[1]=0，這就是我修改的原因，如果按照書上寫的話，那應該是1，對以後的操作有麻煩*/
{
q->rpos[1]=0;
j=0;
}
else/*否則記1*/
{
q->rpos[1]=1;
j=num[1];
}
for(i=2;i<=q->mu;i++)/*運算*/
{
if(num[i]==0)
q->rpos[i]=0;/*當前這一行並沒有非零元所以記錄1*/
else/*否則記錄所對應的序列號*/
{
q->rpos[i]=j+1;
j+=num[i];
}
if(j>=q->tu)/*如果j的數量已經等於所有非零原的數量,那就應該退出循環*/
break;
}
while(i<=q->mu)/*如果半路退出循環，那麼剩下的每行，都沒有非零原*/
{
i++;
q->rpos[i]=0;
}
}
}
void addsmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q)/*稀疏矩陣相加*/
{
int i,j,k,a,b,c,x,y,z,*num;
q->mu=m->mu>n->mu?m->mu:n->mu;
q->nu=m->nu>n->nu?m->nu:n->nu;
q->tu=0;
if(!(num=(int *)malloc((q->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("創建空間失敗\n");
exit(1);
}
if(!(q->rpos=(int *)malloc((q->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("創建空間失敗\n");
exit(1);
}
for(i=1;i<=q->mu;i++)
num[i]=0;
if(m->tu==0)
smatrix(n,q);
else if(n->tu==0)
smatrix(m,q);
else
{
i=j=k=1;
while(i<=m->tu&&j<=n->tu)
{
a=m->data[i].i;
b=m->data[i].j;
c=m->data[i].e;/*分別記錄m的3元組的數據*/
x=n->data[j].i;
y=n->data[j].j;
z=n->data[j].e;
if(a==x)/*如果m,n行相等*/
{
if(b==y)/*如果行列都相等*/
{
if(c+z!=0)/*如果m+n!=0*/
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c+z;
k++;
}
i++,j++;/*無論是否m+n==0i,j都要+1*/
}
else if(b<y)/*如果行相等但是列不相等q下一個三元組應該取坐標相對較小的*/
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c;
k++;
i++;
}
else if(b>y)
{
num[x]++;
q->data[k].i=x;
q->data[k].j=y;
q->data[k].e=z;
k++;j++;
}
else
printf("不可能出現的事情\n");
}
else if(a>x)
{
num[x]++;
q->data[k].i=x;
q->data[k].j=y;
q->data[k].e=z;
k++;j++;
}
else if(a<x)
{
num[a]++;
q->data[k].i=a;
q->data[k].j=b;
q->data[k].e=c;
k++;i++;
}
else
printf("不可能發生的事情\n");
}
if(i>m->tu&&j<=n->tu)/*如果m的三元組記錄完了但是n的三元組沒有記錄完那麼剩下的應該全復制*/
{
while(j<=n->tu)
{
num[n->data[j].i]++;
q->data[k].i=n->data[j].i;
q->data[k].j=n->data[j].j;
q->data[k++].e=n->data[j++].e;
}
}
else if(j>n->tu&&i<=m->tu)/*如果n的三元組記錄完了但是m的三元組沒有記錄完那麼剩下的應該全復制*/
{
while(i<=m->tu)
{
n->data[m->data[i].i].i;
q->data[k].i=m->data[i].i;
q->data[k].j=m->data[i].j;
q->data[k++].e=m->data[i++].e;
}
}
q->tu=k-1;
if(num[1]==0)/*如果第一行沒有非零原的話那m->rops[1]=0，這就是我修改的原因，如果按照書上寫的話，那應該是1，對以後的操作有麻煩*/
{
q->rpos[1]=0;
j=0;
}
else/*否則記1*/
{
q->rpos[1]=1;
j=num[1];
}
for(i=2;i<=q->mu;i++)/*運算*/
{
if(num[i]==0)
q->rpos[i]=0;/*當前這一行並沒有非零元所以記錄1*/
else/*否則記錄所對應的序列號*/
{
q->rpos[i]=j+1;
j+=num[i];
}
if(j>=q->tu)/*如果j的數量已經等於所有非零原的數量,那就應該退出循環*/
break;
}
while(i<=q->mu)/*如果半路退出循環，那麼剩下的每行，都沒有非零原*/
{
i++;
q->rpos[i]=0;
}
}
}
void multsmatrix(tsmatrix *m,tsmatrix *n,tsmatrix *q)/*稀疏矩陣相乘*/
{
int i,j,k,l,o,p,x,y,*a,*num;
if(!(a=(int *)malloc(((m->mu+1)*(n->nu+1))*sizeof(int))))/*創建一個跟q相同大小的空間用來記錄此坐標是否已經輸入一個數*/
{
printf("開辟空間失敗\n");
exit(1);
}
if(m->nu!=n->mu)
{
printf("不匹配\n");
exit(1);
}
q->mu=m->mu,q->nu=n->nu,q->tu=0;/*初始化*/
if(!(num=(int *)malloc((m->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("開辟空間失敗\n");
exit(1);
}
if(!(q->rpos=(int *)malloc((q->mu+1)*sizeof(int))))
{
printf("空間開辟失敗");
exit(1);
}
for(i=1;i<=q->mu;i++)
num[i]=0;
if(m->tu*n->tu!=0)
{
for(i=1;i<=m->mu;i++)/*初始化a數組*/
for(j=1;j<=n->nu;j++)
a[i*n->nu+j]=0;
for(i=1;i<=m->tu;i++)
{
o=m->data[i].i;
p=m->data[i].j;
if(n->rpos[p]==0)
continue;
l=p+1;
while(n->rpos[l]==0&&l<=n->mu)
l++;
if(l>n->mu)
j=n->tu+1;
else
j=n->rpos[l];
for(k=n->rpos[p];k<j;k++)/*k-j的范圍是本行非零遠的個數*/
{
x=n->data[k].i;/*x,y分別是n->data[k]的行和列*/
y=n->data[k].j;
if(a[o*n->nu+y]!=0)
q->data[a[o*n->nu+y]].e+=m->data[i].e*n->data[k].e;/*如果此空間已經輸入一個數了，那麼在相應的位置累加*/
else
{
q->data[++q->tu].e=m->data[i].e*n->data[k].e;
q->data[q->tu].i=o;
q->data[q->tu].j=y;
a[o*n->nu+y]=q->tu;/*此位置記錄q->tu*/
num[o]++;
}
}
}
for(i=1;i<=q->mu;i++)
printf("%d ",num[i]);
if(num[1]==0)/*如果第一行沒有非零原的話那m->rops[1]=0，這就是我修改的原因，如果按照書上寫的話，那應該是1，對以後的操作有麻煩*/
{
q->rpos[1]=0;
j=0;
}
else/*否則記1*/
{
q->rpos[1]=1;
j=num[1];
}
for(i=2;i<=q->mu;i++)/*運算*/
{
if(num[i]==0)
q->rpos[i]=0;/*當前這一行並沒有非零元所以記錄1*/
else/*否則記錄所對應的序列號*/
{
q->rpos[i]=j+1;
j+=num[i];
}
if(j>=q->tu)/*如果j的數量已經等於所有非零原的數量,那就應該退出循環*/
break;
}
while(i<=q->mu)/*如果半路退出循環，那麼剩下的每行，都沒有非零原*/
i++,q->rpos[i]=0;
}
}

4. 特殊矩陣有那些

特殊矩陣太多了，凡是有專門名字的都是特殊矩陣。
隨便給你提一些，你自己去找書上沒有寫方法的。

1.上三角矩陣/下三角矩陣，三對角矩陣，帶狀矩陣
2.Toeplitz矩陣，Hankel矩陣，Vandermonde矩陣
3.Z矩陣，M矩陣，H矩陣，對角占優陣，非負矩陣
4.對稱矩陣，反對稱矩陣，Hermite矩陣，反Hermite矩陣，正交矩陣，酉矩陣，正規矩陣
5.Hamilton矩陣，反Hamilton矩陣，辛矩陣，反辛矩陣
6.Hilbert矩陣，Cauchy矩陣

可以到3,5,6裡面找。不過幾乎可以肯定的是，書上沒有給出求逆方法的，除非是太顯然的(比如酉陣)，否則你多半也不會想出好辦法。

5. 什麼是帶狀矩陣

就是方程組的系數矩陣是一個帶狀矩陣。
類似於 1100000000
0011000000
0000110000
0000001100
0000000011
因為非0元素呈帶狀，所以叫帶狀矩陣。

6. 矩陣0元素不存儲改怎麼辦

最簡單的方法，你弄三個1*10的數組。

7. 什麼是帶狀矩陣的帶寬

1、帶狀矩陣的帶寬是顯示屏單位面積上RGB三色發光點數的多少，點數越多，帶寬越寬，
圖像則越細膩，還原越好。
2、所謂的帶狀矩陣即：在矩陣A中，所有的非零元素都集中在以主對角線為中心的帶狀區域中。其中最常見的是三對角帶狀矩陣。