浮點數的存儲方式
A. 浮點數的存儲結構是怎樣的
浮點數存儲時有符號位，階數位和尾數三部分組成。
解：最大的正數= (1-2 ^ (7))x 2 ^ (2 ^ (3) - 1) = (1-2 ^ (7)) x 2 ^(7) = 127，規則最小的正數＝2×2＾（－1）（或2＾（3））x＾2＝2－1＝2＾（8）（9）＝1／512。
最明顯的絕對值是－1＊2＾（2＾3－1）也就是－1＊2＾7，也就是－128。
(1)浮點數的存儲方式擴展閱讀：
浮點數A由兩個數字m和e表示：A＝m＊b＾e。在任何這樣的系統中，我們選擇基數b（計數系統的基礎）和精度p（要存儲的比特數）。
M（即尾數）的形狀陸雹為±d．dd…DDD的p位（每個位早塵帆是0和b－1之間的整數，包括0和b－1）。如果m的第一個數字是一個非零整數，那麼m就被歸一化了兄纖。
一些描述使用單個符號位（s表示＋或－）表示加號或減號，因此m必須是正數。E是a的指數。
結構：
表示計算機中的一個浮點數，其結構如下：
尾數部分（定點小數）指令碼部分（定點整數）
B. 單片機里浮點數是怎麼存放的
可以這么說：任何存儲器，無論是pc機，單片機，甚至內存卡的基本存儲模塊都是一樣
的結構（當然是對於ram而言），都是一個存儲單元對應地址線的一種組合相應存儲一個位元組，物理結構是裡面的八個觸發器，每個觸發器對應一個位元組。至於浮點數和整型數理論上沒什麼區別了把，就在多一個位元組存放小數點吧。
C. c++浮點數存儲方式
月初還在上班的時候，就天天盼望著過年放長假，然而終於熬到了過年，卻發現自己的12天的長假將在碌碌無為中度過，朋友們又一個接一個的遠去，心裡真是拔涼拔涼的啊！最近版上的人氣有點低落，連違規率（不敢說犯罪率哈，怕被人砍）都下降了不少，我想在春節這檔子這是免不了的，論壇上應該有不上工作的朋友可能都回家團聚了。那像我這種無家可歸的人除了眼饞別人的幸福，那就只有向仍然全力支持著我們C++/面向對象這個大家庭的兄弟姐妹們拜個年，祝來年薪水猛漲，職位高升，身體健康，家庭幸福！
最近一段時間看到版上關於C++里浮點變數精度的討論比較多，那麼我就給對這個問題有疑惑的人詳細的講解一下intel的處理器上是如何處理浮點數的。為了能更方便的講解，我在這里只以float型為例，從存儲結構和演算法上來講，double和float是一樣的，不一樣的地方僅僅是float是32位的，double是64位的，所以double能存儲更高的精度。還要說的一點是文章和程序一樣，兼容性是有一定范圍的，所以你想要完全讀懂本文，你最好對二進制、十進制、十六進制的轉換有比較深入的了解，了解數據在內存中的存儲結構，並且會使用VC.net編譯簡單的控制台程序。OK，下面我們開始。
大家都知道任何數據在內存中都是以二進制（1或著0）順序存儲的，每一個1或著0被稱為1位，而在x86CPU上一個位元組是8位。比如一個16位（2位元組）的short int型變數的值是1156，那麼它的二進製表達就是：00000100 10000100。由於Intel CPU的架構是Little Endian（請參數機算機原理相關知識），所以它是按位元組倒序存儲的，那麼就因該是這樣：10000100 00000100，這就是定點數1156在內存中的結構。
那麼浮點數是如何存儲的呢？目前已知的所有的C/C++編譯器都是按照IEEE（國際電子電器工程師協會）制定的IEEE 浮點數表示法來進行運算的。這種結構是一種科學表示法，用符號（正或負）、指數和尾數來表示，底數被確定為2，也就是說是把一個浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再加上符號。下面來看一下具體的float的規格：
float
共計32位，摺合4位元組
由最高到最低位分別是第31、30、29、……、0位
31位是符號位，1表示該數為負，0反之。
30-23位，一共8位是指數位。
22-0位，一共23位是尾數位。
每8位分為一組，分成4組，分別是A組、B組、C組、D組。
每一組是一個位元組，在內存中逆序存儲，即：DCBA
我們先不考慮逆序存儲的問題，因為那樣會把讀者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。
現在讓我們按照IEEE浮點數表示法，一步步的將float型浮點數12345.0f轉換為十六進制代碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接將整數部轉化為二進製表示：1 11100010 01000000也可以這樣表示：11110001001000000.0然後將小數點向左移，一直移到離最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等於在以2為底的科學計演算法表示中指數+1，所以原數就等於這樣：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因為你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧？（呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我~），所以這個1我們還有必要保留他嗎？（眾：沒有！）好的，我們刪掉他。這樣尾數的二進制就變成了：11100010010000000最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：11100010010000000000000（MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去~）
再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0 - 255的無符號整數，也可以表示-128 - 127的有符號整數。但因為指數是可以為負的，所以為了統一把十進制的整數化為二進制時，都先加上127，在這里，我們的16加上127後就變成了143，二進製表示為：10001111
12345.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再轉化為16進制為：47 F1 20 00，最後把它翻過來，就成了：00 20 F1 47。
現在你自己把54321.0f轉為二進製表示，自己動手練一下！
有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下為什麼會出現精度問題。
按照IEEE浮點數表示法，將float型浮點數123.456f轉換為十六進制代碼。對於這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進制：100100011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反著講效果好一點，比如有一個十進制純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000……，這些位階分母的關系是10^1、10^2、10^3……，現假設每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在這里就是5、7、8、2、6，而這個純小數就可以這樣表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把這個公式推廣到b進制純小數中就是這樣：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )
天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了！沒辦法，為了廣大編程愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進制純小數比如0.100101011就應該比較好理解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或著0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.45這個十進制純小數，化為該如何表示呢？現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。
我想你已經迫不及待的想要看答案了，因為你發現這跟本算不出來！來看一下步驟：1 / 2 ^1位（為了方便，下面僅用2的指數來表示位），0.456小於位階值0.5故為0；2位，0.456大於位階值0.25，該位為1，並將0.45減去0.25得0.206進下一位；3位，0.206大於位階值0.125，該位為1，並將0.206減去0.125得0.081進下一位；4位，0.081大於0.0625，為1，並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；5位0.0185小於0.03125，為0……問題出來了，即使超過尾數的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點數精度問題了。不過我在這里不是要給大家講《數值計算》，用各種方法來提高計算精度，因為那太龐雜了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這里就僅把浮點數表示法講清楚便達到目的了。
OK，我們繼續。嗯，剛說哪了？哦對對，那個數還沒轉完呢，反正最後一直求也求不盡，加上前面的整數部算夠24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC問：「不是23位嗎？」我：「倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎？當然要加一位嘍！」現在開始向左移小數點，大家和我一起移，眾：「1、2、3……」好了，一共移了6位，6加上127得131（怎麼跟教小學生似的？呵呵~），二進製表示為：10000101，符號位為……再……不說了，越說越啰嗦，大家自己看吧：
0 10000101 11101101110100101111001
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42
下面再來講如何將純小數轉化為十六進制。對於純小數，比如0.0456，我們需要把他規格化，變為1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得純小數X對應的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );
0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。轉化為這樣形式後，再按照上面第二個例子里的流程處理：
1. 01110101100011100010001
去掉第一個1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0 01111010 01110101100011100010001
最後：
11 C7 3A 3D
另外不得不提到的一點是0.0f對應的十六進制是00 00 00 00，記住就可以了。
最後貼一個可以分析並輸出浮點數結構的函數源代碼，有興趣的自己看看吧：
// 輸入4個位元組的浮點數內存數據
void DecodeFloat( BYTE pByte[4] )
{
printf( "原始（十進制）：%d %d %d %d\n" , (int)pByte[0],
(int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] );
printf( "翻轉（十進制）：%d %d %d %d\n" , (int)pByte[3],
(int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] );
bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte );
string strBinary = bitAll.to_string<char, char_traits<char>, allocator<char> >();
strBinary.insert( 9, " " );
strBinary.insert( 1, " " );
cout << "二進制：" << strBinary.c_str() << endl;
cout << "符號：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl;
bitset<32> bitTemp;
bitTemp = bitAll;
bitTemp <<= 1;
LONG ulExponent = 0;
for ( int i = 0; i < 8; i++ )
{
ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) );
}
ulExponent -= 127;
cout << "指數（十進制）：" << ulExponent << endl;
bitTemp = bitAll;
bitTemp <<= 9;
float fMantissa = 1.0f;
for ( int i = 0; i < 23; i++ )
{
bool b = bitTemp[ 31 - i ];
fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) );
}
cout << "尾數（十進制）：" << fMantissa << endl;
float fPow;
if ( ulExponent >= 0 )
{
fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) );
}
else
{
fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) );
}
cout << "運算結果：" << fMantissa * fPow << endl;
}
累死了，我才發現這篇文章雖然短，然而確是最難寫的。上帝，我也不是機算機，然而為什麼我滿眼都只有1和0？看來我也快成了黑客帝國里的那個看通迅員了……希望大家能不辜負我的一翻辛苦，幫忙up吧！
D. C語言浮點數的儲存方式為何浮點數儲存不準確那個圖片是什麼意思
C語言中，無論是單精度還是雙精度在存儲中都分為三個部分：
1. 符號位(Sign) : 0代表正，1代表為負
2. 指數位（Exponent）（註：也叫階碼）:用於存儲科學計數法中的指數數據，並且採用移位存儲（註：移碼編碼表示）
3. 尾數部分（Mantissa）：尾數部分
關於不精確是由於十進制小數部分化二進制，常常化不盡。如同無限循環小數，最後有截斷誤差。
圖片中的是float型的變數的存儲上的格式。
E. 浮點數在計算機裡面的存儲
這個問題比較難..其實在實際運算過程中或寫程序中我們要求的浮點數都有一定的精度,大多數情況下存成文件等形式我們一般會讓他*10^n次方來存儲去掉小數位.下面說正題.
何數據在內存中都是以二進制（0或1）順序存儲的，每一個1或0被稱為1位，而在x86CPU上一個位元組是8位。比如一個16位（2 位元組）的short int型變數的值是1000，那麼它的二進製表達就是：00000011 11101000。由於Intel CPU的架構原因，它是按位元組倒序存儲的，那麼就因該是這樣：11101000 00000011，這就是定點數1000在內存中的結構。
目前C/C++編譯器標准都遵照IEEE制定的浮點數表示法來進行float,double運算。這種結構是一種科學計數法，用符號、指數和尾數來表示，底數定為2——即把一個浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再添上符號。下面是具體的規格：
````````符號位 階碼 尾數 長度
float 1 8 23 32
double 1 11 52 64
臨時數 1 15 64 80
由於通常C編譯器默認浮點數是double型的，下面以double為例：
共計64位，摺合8位元組。由最高到最低位分別是第63、62、61、……、0位：
最高位63位是符號位，1表示該數為負，0正；
62-52位，一共11位是指數位；
51-0位，一共52位是尾數位。
按照IEEE浮點數表示法，下面將把double型浮點數38414.4轉換為十六進制代碼。
把整數部和小數部分開處理:整數部直接化十六進制：960E。小數的處理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
實際上這永遠算不完！這就是著名的浮點數精度問題。所以直到加上前面的整數部分算夠53位就行了（隱藏位技術：最高位的1 不寫入內存）。
如果你夠耐心，手工算到53位那麼因該是：38414.4(10)=1001011000001110.(2)
科學記數法為：1.001……乘以2的15次方。指數為15！
於是來看階碼，一共11位，可以表示範圍是-1024 ~ 1023。因為指數可以為負，為了便於計算，規定都先加上1023，在這里， 15+1023=1038。二進製表示為：100 00001110
符號位：正—— 0 ！ 合在一起（尾數二進制最高位的1不要）：
01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101
按位元組倒序存儲的十六進制數就是：
55 55 55 55 CD C1 E2 40
F. 浮點類型是如何存儲的
計算機中最小的存儲單位是bit只能保存0和1，整數在內存中如何存儲我們都知道，將要存儲的數字轉成2進制即可
用windows自帶的計數器可以方便的查看整數對應的2進制值
如：
byte類型（單位元組）
那浮點類型是如何用這么少的位元組（如float 4位元組）表示這么大（float 最大 3.4028235E38）的數字呢？
浮點數，是屬於有理數中某特定子集的數的數字表示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數（即尾數）凳凳乘以某個基數（計算機中通常是2）的整數次冪得到，這種表示方法類似於基數為10的科學計數法。
科學計數法是一種記數的方法。把一個數表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分數形式，n為整數），這種記數法叫做科學計數法。當我們要標記或運算某個較大或較小且位數較多時，用科學計數法免去浪費棗核旅很多空間和時間。
這也是一種目前最常用的浮點數標准！為許多CPU與浮點運算器所採用。
簡單的說就是將一個浮點數字拆成3個部分（符號部分、指數部分、小數部分） 存儲在連續的bit中，類似科學計數法。
用 {S，E，M}來表示一個數 V 的，即 V =（-1）S × M × 2E ，如下：
其中：
其中d.dd...d 為有效數字，β為基數，e 為指數
有效數字中 數字的個數 稱為 精度 ，我們可以用 p 來表示氏兄，即可稱為 p 位有效數字精度。
每個數字 d 介於 0 和基數 β 之間，包括 0。
對十進制的浮點數，即基數 β 等於 10 的浮點數而言，上面的表達式非常容易理解。
如 12.34，我們可以根據上面的表達式表達為：
1×10 1 + 2×10 0 + 3×10 -1 + 4×10 -2
其規范的浮點數表達為： 1.234×10 1 。
但對二進制來說，上面的表達式同樣可以簡單地表達。
唯一不同之處在於：二進制的 β 等於 2，而每個數字 d 只能在 0 和 1 之間取值。
如二進制數 1001.101 ，我們可以根據上面的表達式表達為：
1×2 3 + 0×2 2 + 0×2 1 + 1×2 0 + 1×2 -1 + 0×2 -2 + 1×2 -3
其規范浮點數表達為： 1.001101×2 3 。
二進制數 1001.101 轉成十進制如下：
由上面的等式，我們可以得出：
向左移動二進制小數點一位相當於這個數除以 2，而向右移動二進制小數點一位相當於這個數乘以 2。
如 101.11 = 5又3/4 (5.75)，向左移動一位，得到 10.111 = 2又7/8 （2.875）。
除此之外，我們還可以得到這樣一個基本規律：
一個十進制小數要能用浮點數精確地表示，最後一位必須是 5（當然這是必要條件，並非充分條件）。
如下面的示例所示：
基本換算方法：
將10進制的數拆分成整數和小數兩個部分
整數部分除以2，取余數；小數部分乘以2，取整數位。
示例：
將十進制 1.1 轉成 二進制
整數部分：1
1
小數部分：0.1
二進制形式表示為：
1.000110011001100110011...
再加上整數1，約等於：
1.099609375
計算的位數越多越精確
注意：
二進制小數不像整數一樣，只要位數足夠，它就可以表示所有整數。
在有限長度的編碼中，二進制小數一般無法精確的表示任意小數，比如十進制小數0.2，我們並不能將其准確的表示為一個二進制數，只能增加二進制長度提高表示的精度。
根據 IEEE 754 浮點「雙精度格式」位布局。
如果參數是正無窮大，則結果為 0x7ff0000000000000L。
如果參數是負無窮大，則結果為 0xfff0000000000000L。
如果參數是 NaN，則結果為 0x7ff8000000000000L。
根據 IEEE 754 浮點「單一格式」位布局。
如果參數為正無窮大，則結果為 0x7f800000。
如果參數為負無窮大，則結果為 0xff800000。
如果參數為 NaN，則結果為 0x7fc00000。
這里以 double類型說明
將一個浮點數與上面的掩碼進行與運算，即可得到對應的 符號位、指數位、尾數位 的值。
1.000110011001100110011...
所以存為：
0 01111111111 000110011001100110011...
根據 IEEE 754 規范
在二進制，第一個有效數字必定是「1」，因此這個「1」並不會存儲。
單精和雙精浮點數的有效數字分別是有存儲的23和52個位，加上最左邊沒有存儲的第1個位，即是24和53個位。
通過計算其能表示的最大值，換十進制來看其精度：
浮點運算很少是精確的，只要是超過精度能表示的范圍就會產生誤差。而往往產生誤差不是因為數的大小，而是因為數的精度。
我自己理解為分兩種情況（這個不一定是對）
通過上面的轉換示例，我們知道小數的二進製表示一般都不是精確的，在有限的精度下只能盡量的表示近似值
值本身就不是精確的，再進行計算就很可能產生誤差
輸出：
0.1
原始值： 0 01111111011
指數：1019 -1023 = -4
二進制形式：
0.0001
0.2
原始值：0 01111111100
指數：1020 -1023 = -3
二進制形式：
0.00
0.3
原始值：0 01111111101
指數：1021 = -2
二進制形式：
0.00
二進制加法運算
這里用float驗證，float最大的精度是8位數
對於不能精確的表示的數，採取一種系統的方法：找到「最接近」的匹配值，它可以用期望的浮點形式表現出來，這就是舍入。
對於舍入，可以有很多種規則，可以向上舍入，向下舍入，向偶數舍入。如果我們只採用前兩種中的一種，就會造成平均數過大或者過小，實際上這時候就是引入了統計偏差。如果是採用偶數舍入，則有一半的機會是向上舍入，一半的機會是向下舍入，這樣子可以避免統計偏差。而 IEEE 754 就是採用向最近偶數舍入（round to nearest even）的規則。
（這段是網上抄的）
這里以java語言示例，用大端的方式示例（網路序）
java中是以大端模式存儲的，java對我們屏蔽了內部位元組順序的問題以實現跨平台！
實際在不同的cpu架構下，存儲方式不同，我們常用的X86是以小端的模式存儲的。
網路傳輸一般採用大端序，也被稱之為網路位元組序，或網路序。IP協議中定義大端序為網路位元組序。
輸出：
G. 浮點型數據在內存中實際的存放形式(儲存形式)
浮點型數據在內存中存儲不是按補碼形式，是按階碼的方式存儲，所以雖然int和float都是佔用了4個位元組，如果開始存的是int型數據，比如是個25，那麼用浮點的方式輸出就不是25.0，也許就變的面目全非。
你可以用共用體的方式驗證一下。在公用體中定義一個整形成員變數和一個浮點型成員變數，給整形賦值25，輸出浮點成員變數，你就知道了。